求极限的常用方法课件•极限概念及其性质•序列求极限方法•函数求极限方法•多元函数求极限技巧•应用实例分析与讨论•总结回顾与拓展延伸目录01极限概念及其性质极限定义及几何意义极限定义当自变量趋近于某一点或无穷时，函数值趋近于某一常数，则称该常数为函数在该点的极限。几何意义函数在某点处的极限，可以看作是该点附近函数图像的变化趋势。当自变量趋近于该点时，函数值越来越接近极限值，函数图像也越来越接近极限值对应的水平直线。极限存在性定理夹逼定理若函数在某区间内被两个函数夹逼，且这两个函数在该点的极限存在且相等，则该函数在该点的极限也存在且等于这两个函数的极限值。洛必达法则若函数在某点的极限为不确定型，则可以通过求导数的极限来得到原函数的极限值。无穷小与无穷大概念无穷小当自变量趋近于某一点或无穷时，函数值趋近于零的函数称为无穷小。无穷大当自变量趋近于某一点或无穷时，函数值趋于正无穷或负无穷的函数称为无穷大。极限运算法则极限的四则运算法则若函数在某点的极限存在，则可以通过四则运算法则求得该函数与其他函数在该点的极限值。复合函数的极限运算法则若函数是由一些基本函数通过四则运算和复合得到的，则可以通过分解复合函数的方法，求得该函数在某点的极限值。02序列求极限方法夹逼原理夹逼定理若存在两个收敛序列，使得原序列始终位于这两个收敛序列之间，则原序列收敛，且极限值等于这两个收敛序列的极限值。放大缩小法通过适当的放大或缩小，将原序列夹在两个易于求极限的序列之间，从而求得原序列的极限。单调有界原理单调有界定理单调递增（或递减）且有上界（或下界）的序列必定收敛。构造法通过构造函数或不等式，将原序列转化为单调有界序列，从而求得原序列的极限。定积分求和法定积分求和公式对于某些特殊形式的序列，可以通过定积分求和公式求得其极限值。积分估值法通过积分估值定理，将序列求和转化为定积分求解，从而得到序列的极限值。递推关系式求解法递推关系式特征根法对于具有递推关系的序列，可以通过递推关系式求得其通项公式，进而求得极限值。对于线性递推关系式，可以通过求解其特征根，得到通项公式，从而求得序列的极限值。VS03函数求极限方法直接代入法010203定义适用范围注意事项将函数中的自变量直接代入所求的极限值，计算函数值即为极限值。适用于初等函数在其定义域内的连续点处求极限。若代入后计算结果为无穷大或无法确定，则不能直接代入，应考虑其他方法。消去零因子法适用范围适用于函数表达式中存在零因子的情况，如“0/0”型或“∞/∞”型等。定义通过因式分解、约分等方法消去函数表达式中的零因子，再求极限。注意事项消去零因子后，应验证所得结果是否与原函数表达式等价，以避免出错。洛必达法则定义适用范围注意事项利用导数和极限的关系，通过求导计算极限值的方法。适用于“0/0”型或“∞/∞”型等不定式极限的计算。在使用洛必达法则之前，应先验证函数是否满足法则的使用条件；同时，洛必达法则并非万能，有些情况下可能无法使用或得到错误结果。泰勒公式法定义利用泰勒公式将函数展开成多项式形式，再求极限的方法。适用范围适用于较复杂的函数求极限，尤其是当函数不易直接代入或消去零因子时。注意事项在使用泰勒公式法时，应根据函数的性质和所求极限的特点选择合适的展开点和展开阶数，以保证计算结果的准确性。04多元函数求极限技巧路径选择与判断技巧直接代入法当多元函数在某点处连续时，可直接代入该点的坐标值求解极限。路径选择法当多元函数在某点处不连续时，需选择不同路径趋近于该点，并分别求解极限，判断其是否存在且相等。夹逼定理法利用夹逼定理求解多元函数的极限，需找到两个一元函数，使得被求函数在这两个函数之间，并证明这两个函数的极限相等。转换为一元函数进行处理消元法等价无穷小替换法通过消元将多元函数转化为一元函数，从而简化计算过程。常用方法有拉格朗日乘数法和极坐标变换法等。利用等价无穷小替换法将多元函数中的复杂项替换为简单项，从而简化计算过程。需注意替换的合法性和替换后的精度问题。利用向量运算性质简化计算过程向...
