详解高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编VIP免费

第1页共34页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共34页2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解1．（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）设是对一切正整数有定义的函数，且，（，是的素约数的个数）．令（其中表示是的约数，上式表示对的一切约数的函数求和），则；．【解析】；．解法一：依据定义：； 是素数，∴．解法二：来计算的表达式．根据算术基本定理，可以设，其中为的全部素因子，．设是的约数，根据的定义，当时，，且正好可以视作的情形．而，求和是对的全体约数求和．由于的取值只可能是，所以只需计算出，取值的约数的个数即可．这等价于求的只有个素因子的约数的个数．时，显然只有，个数为；时，，其中，只能取，个数是；一般地对于为任意的情形，当的素因子取时，，由于能取到，由乘法原理，这种情况下的的个数是；由于的素因子可以取任意个，所以总的只有个素因子的约数的个数是；由此可知，；考虑多项式．由韦达定理可知：在上式中两边赋值即得∴当时，； ，∴； ，∴．2．（10-11年上学期海淀高三期末统考理8）如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A．B．A1B1D1C1ABCDE12121kkkiiiiiisttt≤≤≤≤≤|1()()1(1)skkdnkFnfd12()()()()shxxtxtxt12()()()()shxxtxtxt1212(1)(1)nnnknksksxxxx1x121()1(1)(1)(1)(1)(1)skkskFnhttt1212stttsnppp12()(1)(1)(1)sFnttt293(9)121F120112011(2011)110F1111ABCDABCDE1DDF11CDDC1BF∥1ABE1BF11CDDC2255第2页共34页第1页共34页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共34页C．D．【解析】C．过平面外一点能作无穷多条直线平行于平面，这无穷多条直线构成一个过点且与平行的平面；由此可知：过且平行于平面的直线有无穷多条，这些直线构成一个平面．先作出这个平面如右图所示：作交于，作交的延长线于，那么；于是既在面上又在侧面上，的轨迹为两者的交线；为作出交线，如图所示：延长交的延长线于，连接交的延长线于，则即为平面与平面的交线；延长交于，则为的轨迹（限定在正方体的侧面上而不是整个侧面平面上）；设正方体棱长为，易知是中点，，，．任取上一点，由于是在平面上的射影，所以与平面所成的角即为，其正切为；，，∴；选C；3．（10-11年上学期海淀高三期末统考理14）在平面直角坐标系中，为坐标原点．定义、两点之间的“直角距离”为．若点，则=；已知点，点是直线上的动点，的最小值为．【解析】；．先把直线方程改写成：，则直线是过定点且斜率为正的直线．设直线与轴交于点，与交于点，则构成直角三角形．如右图所示．先考虑的情形：此时若介于间例如点，我们有：，也就是处在间时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；若在延长线上例如点：，所以此时在点取最小值；又由于时，所以综合知；CPM2M1M3N3N2xyON1QBSFENMRQPDCBAC1D1B1A1|222tt≤≤2|525tt≤≤PlP1B1ABE11BMAE∥1CCM11BPAB∥ABP11BPMABE∥F1BPM11CDDCF1BMBCRPBDCQQM1BPM11CDDCQM11CDNMNFF2M1CC2PB2CR111QCCMMCCNMNF1C1B11CDDC1BF11CDDC11BFC111BCCF111max1CFCMCN1122min22CFCM112tan22BFC≤≤xOyO11,Pxy22,Qxy1212(,)dPQxxyy1,3A-(,)dAO1,0BM30(0)kxykk(,)dBM432(1)23(01)kkkk≥3(1)ykx(1,3)CxP1xQPBQ1kMPQ3M333333(,)dBMBNNMBNNPBPMPQ(,)dBMPMQP1M1111(,)dBMBNNMBP(,)dBMPMPQ2M2222(,)dBMBNNMBQ(,)dBMQ1kBQBP3min(,)2dBMBPk第3页共34页第2页共34页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共34页类似地可以知道：若，则分别在延长线上、间、延长线上时，分别在点，点，点取最小值，又此时，故；若...