专题四　解直角三角形的应用VIP免费

专题四解直角三角形的应用一、构造直角三角形解决实际问题1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米，试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于点C，在Rt△ACE中，∠CEA＝60°，CE＝BD＝6米，tan∠AEC＝ACCE，∴AC＝∠CE·tan∠AEC＝6tan60°＝63(米)．∴AB＝AC＋BC＝63＋1.5≈10.39＋1.5＝11.89≈11.9(米)2．(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长332米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．解：延长OA交BC于点D， AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°， ∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝332·33＝1.5(米)，∴CD＝2AD＝3米，又 ∠O＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．3．(2014·徐州)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离(精确到1km)；(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝60°.在Rt△ABD中， ∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝503，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝AD2＋CD2＝1003≈173(km)(2)在△ABC中， AB2＋AC2＝1002＋(1003)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向．4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DFDB＝cos30°＝32，∴DF＝6×32＝33， CE＝DF，∴CE＝DF＝33，在Rt△ACE中，由题意可知∠ACE＝45°，AECE＝tan45°＝1，∴AE＝CE＝33，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝33＋4－3＝(33＋1)米，所以铁塔AB的高为(33＋1)米二、利用方程的思想解决实际问题5．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两处探测到C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定生命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过点C作CD⊥AB于点D.设CD＝xm．在Rt△CBD中， ∠CBD＝45°，∠D＝90°，∴BD＝CD＝xm．在Rt△ACD中， tan∠CAD＝CDAD＝xx＋4，∠CAD＝30°，∴33＝xx＋4.解得x＝23＋2≈5.5.答：生命所在点C的深度约是5.5m.6．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离．(用含根号的式子表示)解：连接PA，PB，过点P作PM⊥AD于点M，延长BC，交PM于点N，则∠APM＝45°，∠BPM＝60°，NM＝10米．设PM＝x米，在Rt△PMA中，AM＝PM×tan∠APM＝xtan45°＝x(米)．在Rt△PNB中，BN＝PN×tan∠BPM＝(x－10)tan60°＝3(x－10)．由AM＋BN＝46米，得x＋3(x－10)＝46，解得x＝46＋1031＋3，∴点P到AD的距离为46＋1031＋37．青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃．(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后才能抓到懒羊羊？(结果精确到个位)解：在Rt△BCD中， ∠BCD＝90°－30°＝60°，∴BDCD＝tan60°，则BD＝3CD，在Rt△ABD...