2.7正方形1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；3．掌握正方形的判定条件；4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．自学指导阅读课本P72~74，完成下列问题.知识探究1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形吗？总结：矩形+（一组邻边相等）=正方形.2.你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．总结：菱形+（有一个内角为90°）=正方形思考：如果是平行四边形呢？平行四边形+（一组邻边相等）+（有一个内角为90°）=正方形.3.正方形的性质根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形、又是特殊的菱形，更是的特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？从边来说：四边相等从角来说：四个内角为90°从对角线来说：对角线互相垂直平分且相等自学反馈1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（C）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等2.正方形面积为36，则对角线的长为（B）A.6B.C.9D.3.菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（或，等）（只填一个条件即可）．4.如图，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为．则四边形是正方形．活动1小组讨论例1如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.证明： 四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°. DF⊥DE，∴∠EDF=90°，即∠1+∠3=90°，又 ∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.∴△AED≌△CFD（ASA）.∴DE=DF.例2如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A’B’C’D’是正方形.证明: 四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=DA.又 AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.又 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.活动2跟踪训练1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．证明： CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又 ∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形， DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解：(1) 四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°， EF⊥AC，∴∠EFA＝90°， AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又 AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；（2）设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝＝x， BC＝1，∴x＋x＝1，解得x＝－1，即BE的长为－1.3.在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE.(1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°， 点E为DF的中点，∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA， ∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC(SAS)；（2） △AEB≌△DEC，∴EB＝EC， EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°， EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝(180°－30°)＝75°，又 AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.4.已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：________________________，则四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明)解：(1) CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝×180°＝90°；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又 CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴E...
