九年级数学下册 24.2.2 圆的基本性质导学案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级下册数学学案VIP免费

24.2.2圆的基本性质【学习目标】1．利用圆的轴对称性，通过观察使学生能归纳出垂径定理的主要内容。2．要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。3．运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．4．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法．5．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．6．通过例题（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想。【学习重难点】重点：垂径定理及其推论在解题中的应用。难点：如何进行辅助线的添加，构造直角三角形解决一些的计算问题。【课前预习】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，CM是中线，以C为圆心，为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是()．A．A在圆外，B在圆内，M在圆上B．A在圆内，B在圆上，M在圆外C．A在圆上，B在圆外，M在圆内D．A在圆内，B在圆外，M在圆上解析：Rt△ABC中，AB＝＝＝2，CM＝AB＝，又2＜＜4，故A在圆内，B在圆外，M在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，则⊙O的半径是__________．解析：本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8cm，PB＝2cm，直径AB＝8＋2＝10(cm)，半径r＝AB＝×10＝5(cm)；(2)点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6(cm)，半径r＝×6＝3(cm)．答案：3cm或5cm3．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．4．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．5．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．6．圆心到弦的距离叫做弦心距．【课堂探究】1．垂径定理【例1】赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，表示主拱桥，设所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交于点C.根据垂径定理，则D是AB的中点，C是的中点，CD为拱高．在Rt△OAD中，AD＝AB＝37.4×＝18.7(m)，OA＝27.9m，∴OD＝＝≈20.7(m)．∴CD＝OC－OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．∴赵州桥的拱高为7.2m.点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h.它们之间的关系有r＝h＋d(或r＝h－d)，r2＝d2＋()2.2．垂径定理的推论【例2】学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．解：小勇得出的结论正确．理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．【课后练习】1．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()．A．2cmB.cmC．2cmD．2cm答案：C2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为()．A．矩形B．平行四边形C．正方形D．直角梯形答案：C3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为()．A．6B．8C．10D．12答案：A4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.答案：495．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB于E，则AE＝EB，CE＝ED.∴AE－CE＝BE－DE.∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，∴AC＝BD.