第23章知识升华一、知识网络二、典例分析1、分类讨论题例1、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为___________.解析：（1）当高AD在△ABC内时，如图1.，又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD＝∠ACD. ∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°. ∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.（2）当高AD在△ABC外时，如图2.同理可证△ADB∽△CDA，∴∠ABD＝∠CAD＝25°，∴∠ACD＝65°，∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.2、新定义图形题例2定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：（1）如图3，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.解析：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.理由： ∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB.（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.当时，，当n＝6时，，当n＝7时，.∴当n＝6时，.②.说明：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.3、网格证明题例3如图6，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.解析：（1）∠ABC＝135°，；（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，，∴△ABC∽△DEF.说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.4、情景应用题例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.（2）（米），（米）. △ABE∽△CFE，得，（米）， △BHE∽△CFE，得，（米）. △ABE∽△DGA，，（米）所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.5、运动变化题例5如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？解...
