3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在下图中，当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】利用圆周角定理求角的度数如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是()A．25°B．30°C．40°D．50°解析： OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°. ∠C＝∠AOD，∴∠C＝×50°＝25°.故选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因为AB＝AC，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆周角定理与垂径定理的综合如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上．(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径．解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得AD＝BD，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1) AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AD＝BD，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°；(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1. OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋()2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是CD的中点，求证：∠B＝∠BEC.解析：由点B是CD的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明： B是CD的中点，∴BC＝BD，∴∠BCE＝∠BAC. ∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB. AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC.(1)试判断△ABC的形状，并给予证明；(2)求证：CP＝BP＋AP.解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．(1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中， ∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又 ∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又 ∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又 ∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又 PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．【类型六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E是BC的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AE·DE.解析：点E是BC的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠CB...
