圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)VIP免费

专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,xy的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)xy中的,xy分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀1.已知M（-3,0），N（3,0）6PNPM,则动点P的轨迹方程为析：MNPMPNQ∴点P的轨迹一定是线段MN的延长线。故所求轨迹方程是0(3)yx2.已知圆O的方程为222yx，圆O的方程为010822xyx，由动点P向两圆所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程为析： 圆O与圆O外切于点M(2,0)∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点P的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x3.已知椭圆)0(12222babyax，M是椭圆上一动点，1F为椭圆的左焦点，则线段1MF的中点P的轨迹方程为析：设P(,)xy00(,)Mxy又1(,0)Fc由中点坐标公式可得：00002222xcxxxcyyyy又点00(,)Mxy在椭圆)0(12222babyax上∴2200221(0)xyabab因此中点P的轨迹方程为2222(2)41xcyab4.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是动点，若,0),21(BCABOAOP,则点P的轨迹一定过三角形ABC的重心。析：设点D为BC的中点，显然有OPOAAPuuuruuuruuur12ABBCABBDADuuuruuuruuuruuuruuur,0,APADuuuruuur故点P的轨迹是射线AD，所以，轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法例1、设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，若,2PABP且1ABOQ,则P点的轨迹方程为解：设(,0),(0,)AaBb又(,)Pxy所以(,),(,)BPxybPAaxyuuuruuur又,2PABP所以32()223xaxaxybyby33(,0),(0,3)(,3)22AxByABxyuuur而Q点与P点关于y轴对称，∴点Q的坐标为(,)xy即(,)OQxyuuur又1ABOQ所以223312xy这个方程即为所求轨迹方程。变式1、已知两点M（-2,0），N（2,0），点P满足0NPMNMPMN,动点P的轨迹方程为解:设(,)Pxy则：224,(2),(4,0),(2,).MNMPxyMNNPxyuuuuruuur又0NPMNMPMN224(2)4(2)0xyx化简得所求轨迹方程为：28yx2、定义法例2、已知圆A的方程为100)3(22yx，点B（-3,0），M为圆O上任意一点，BM的中垂线交AM于点P，求点P的轨迹方程。解：由题意知：BPMPAMPAMPPAPB又圆A的半径为10，所以10AM10PBPA即点P的轨迹是以定点A(3,0)B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆（椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为)5(1162522xyx变式2、已知椭圆)0(12222babyax的焦点为21,FF，P是椭圆上的任意一点，如果M是线段PF1的中点，则动点M的轨迹方程是解：因为M是线段PF1的中点，连接OM，则221PFOM1121PFMF由椭圆的定义知：aPFPF221aPFPFMOMF)(21211即点M到定点O、定点1F的距离和为定值a，故动点M的轨迹是以O、1F为焦点，以a为长轴的椭圆，其方程为14)2(42222byacx（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）例3、从双曲线122yx上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。OPxyABM0xyPF1F2M解：设Q),(00yx则由02000yxyxyx可得N点坐标22220000yxyyxx设),(yxP由...