问题描述：（1）计算出两种工况下的解析解；（2）用有限元软件解决以下问题：探究单元数量对计算结果的影响；探究边界条件的影响。工况（a），令u（L）=0改变到u（L）=±0.02m工况（b），令σ（L）=P改变到σ（L）=P±0.1P（1）两种工况下的解析解推导过程及结果如下看成是平面应力问题来解决，只有板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，板很薄，外力又不沿厚度变化应力沿着板的厚度又是连续分布的，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有z0,0,0zxzy（1）同时，根据剪应力互等定理0,0xzyz（2）由平衡微分方程，可以知道0;0yxxyxyXxyYyx（3）几何方程,,xyxyuvvuxyxy（4）物理方程如下：1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE（5）由此可以得到22()1()1()2(1)xyxyEuvxyEvuyxEvuxy（6）代入平衡微分方程得到22222222222211()012211()0122EuuvXxyxyEvvuYyxxy（7）0;XYg因此根据以上式子可以得到22200()()01Edvygdy（8）对（8）式积分，得到22()0(1)()2uxgvyyAyBE（9）第1种情况：物体在全部边界上的位移分量是已知的，因此边界条件为位移边界条件在边界上，我们有0;()syuuvvvy（10）(0)0,()0vvL（11）得到参数：2(1)0;2gLBAE（12）22()(1)()()2()2ygvyLyyELgy（13）将数据代入式（13）得到22274()(1)()()=(y-y)1.691021()()7.6441022ygvyLyymELgyyPa（14）第2种情况：物体在全部边界上的部分位移分量和应力分量是已知的，因此边界条件为混合边界条件(0)0;()yvLp（15）210;()BApgLE（16）所以有221()[()]2()()yvypgLyEypgLy（17）将数据代入（17）可以得到22772541()[()]=8.51102.06102()()107.64410(1)yvypgLygyyEypgLyy（18）（2）计算中采用Abaqus有限元商业计算软件来模拟题目中的工况材料参数见下表名称数量材料密度ρ7800kg/m3物体长度L1m物体宽度W0.1m弹性模量E2.1*1011重力加速度g9.8泊松比0.3载荷P0.1MPa计算单元类型为S4R，单元数量为250工况（a）计算参数设置及结果如下由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为3.798*104Pa由解析解22274()(1)()()=(y-y)1.691021()()7.6441022ygvyLyymELgyyPa得到的固定端点处最大应力为3.822*104Pa；在中间位置位移最大为4.533*10-8m应力误差为4443.82210-3.79810=100%=0.62%3.82210位移误差为8884.53310-4.22510=100%=7.28%4.22510工况（b）计算参数设置及结果如下由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为1.791*105Pa由解析解22772541()[()]=8.51102.06102()()107.64410(1)yvypgLygyyEypgLyy得到的固定端点处最大应力为1.7644*105Pa；自由端最大位移为6.45*10-7m应力误差为5551.79110-1.764410=100%=1.5%1.764410位移误差为7776.57210-6.4510=100%=1.89%6.4510通过有限元计算，可以得到和解析解很接近的结果，通过误差分析表明，有限元计算此类平面应力问题可以很好地满足计算精度的要求。在工况（a）条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为250、1000、1625）应力结果如下在工况（a）条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为250、1000、1625）位移结果如下单元数量应力(Mises最大值)位移（最大值）2503.798*104Pa4.533*10-8m10004.195*104Pa4.533*10-8m16254.378*104Pa4.532*10-8m在工况（b）条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为250、1000、1625）应力结果如下在工况（b）条件下，计算不同单元数量（单元数量分别为250、1000、1625）位移结果如下单元数量应力(Mises最大值)位移（最大值）2501.791*105Pa6.572*10-7m10001.969*105Pa6.572*10-7m16252.054*105Pa6.572*10-7m由计算结果可以知道，随着单元数目的增加，求得的应力结果会逐渐增大，但是位移结果几乎不变在几何形状不变的条件下，改变工况（a）边界条件为u=0+0.02,结果如下在几何形状不变的条件下，改变工况（a）边界条件为u=0-0.02,结果如下在此几何形状及工况(a)条件下：通过改变边界位移的大小可以得到应力及位移变化位移u应力(Mises最大值)位移（最大值）+0.02m4.245*109Pa0.02m0m3.798*104Pa4.533*10-8m-0.02m4.346*109Pa-0.02m在工况（a）的条件下，随着边界条件的改变，应力值均有所增大，并且在整个...
