训练目标(1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用.训练题型(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小.解题策略(1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.1．设函数f(x)＝－，则f(x)的单调减区间是________．2．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．①函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数；②函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数；③函数f(x)在区间(0,2)上是减函数；④函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数．3．已知函数f(x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝________.4．已知函数f(x)＝＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．5．(2015·广东江门普通高中调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________________．6．已知函数f(x)＝x2＋3x－2lnx，则函数f(x)的单调递减区间为__________．7．已知函数f(x)＝x2－2ax－alnx在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．8．设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)0，则对任意实数a，b，下列结论成立的是________．①a>b⇔eaf(b)>ebf(a)；②a>b⇔eaf(b)b⇔eaf(a)b⇔eaf(a)>ebf(b)．10．已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．答案解析1．(－1,1)解析f′(x)＝－＝，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－10)，则f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，令f′(x)<0，即3mx2＋6(m－1)x<0，因为m>0，f(x)的单调递减区间是(0,4)，所以0,4是方程3mx2＋6(m－1)x＝0的两根，所以0＋4＝，所以m＝.4．[1，＋∞)解析∵f(x)＝＋lnx(x>0)，∴f′(x)＝(a>0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.5．(－π，－]和[0，]解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx．令f′(x)＝xcosx≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为(－π，－]和[0，]，即f(x)的单调递增区间是(－π，－]和[0，]．6.解析函数f(x)＝x2＋3x－2lnx的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝2x＋3－，所以令2x＋3－<0，即2x2＋3x－2<0，解得x∈.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为.7．[，＋∞)解析因为函数f(x)＝x2－2ax－alnx在(1,2)上单调递减，所以f′(x)＝x－2a－＝≤0在(1,2)上恒成立，即a≥在x∈(1,2)上恒成立，易知函数y＝在(1,2)上是增函数，所以<＝，故a≥.8．f(3)g(2)>g(3)，即>>，得e2f(1)>ef(2)>f(3)，又f(－1)＝f(1)，所以f(3)0，故函数F(x)在实数集R上是增函数，当a>b时，F(a)>F(b)，即eaf(a)>ebf(b)，反之成立．故④成立．10．解(1)当a＝时，f(x)＝－－x，f′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，即x＝0或x＝ln2；令f′(x)>0，得x<0或x>ln2；令f′(x)<0，得00，函数h(t)为单调递增函数．故h(t)在[，e]上的极小值点为t＝，且h()＝.又h(e)＝＋
