训练目标(1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理.训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用.解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB＋BC＝AC，OM－ON＝NM联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个．①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.2．(2015·贵州遵义一模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.3．(2015·云南昆明质检)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m＝________.4．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是________．5．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________.6．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝____________________________.7．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．8．在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝xAM，AC＝yAN，则x＋y＝________.9．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.10.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC.其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知O为△ABC内一点，且OA＋2OB＋2OC＝0，则△OAB的面积与△OBC的面积的比为________．13．已知a，b是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a，tb，(a＋b)(t∈R)这三个向量的终点在一条直线上，则t的值为________．14.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．答案解析1．32.解析∵AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，∴λ＝.3.解析∵AN＝NC，AP＝mAB＋AC，∴AP＝mAB＋AN.设BP＝λPN(λ>0)，得AP＝AB＋AN，∴m＝且＝，解得λ＝8，m＝.4．③解析a为任一非零向量，故|a|＞0.5．(－7，－4)解析AB＝(3,1)，AC＝(－4，－3)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．0解析如图所示，连结AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，∴GA＋GB＋GC＝0.7．8解析由题意可得，OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，∴AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)．又∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)·(2a＋b)＝4＋(＋)≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．8．2解析因为M、O、N三点共线，所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)，使得MO＝λON，即AO－AM＝λ(AN－AO)，所以AO＝AM＋AN，又O是BC的中点，所以AO＝AB＋AC＝AM＋AN，又AM、AN不共线，所以得＋＝＋＝1，即x＋y＝2.9．－m＋n解析设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得⇒∴p＝－m＋n.10．6解析如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在Rt△OCD中，∵|OC|＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.11.解析易知DE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC.所以λ1＋λ2＝－＋＝.12．2∶1解析取BC的中点D，则OB＋OC＝2OD，所以OA＋4OD＝0，即A，O，D三点共线，且|OA|＝4|OD|，所以S△AOB＝4S△BOD＝2S△BOC，故面积比为2∶1.13.解析如图所示，OA＝tb，OB＝(a＋b)，OC＝a.∴AC＝OC－OA＝a－tb，BC＝OC－OB＝a－b，∵A、B、C三点共线，a，b不共线，∴AC与BC共线，∴＝，∴t＝.14．2解析以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，OA的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B(－，)，设C(cosα，sinα)(α∈[0，])，则由OC＝xOA＋yOB，得(cosα，sinα)＝x(1,0)＋y(－，)，得x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin(α＋)，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
