训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用.训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模.解题策略(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ>0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．已知△ABC为正三角形且边长为4，则AB·BC＝________.2．已知向量|a|＝12，|b|＝6，a·b＝－24，则向量a在向量b方向上的投影为________．3．(2015·高安一模)在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AD·BE＝1，则AB＝________.4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ＝________.5.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB·AF＝，则AE·BF＝________.6．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．7．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________________．8．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE＝2ED，DF＝FC，则AF·BE＝________.10．(2015·四川绵阳中学第五次月考)在△OAB中，OA＝(2cosα，2sinα)，OB＝(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB＝－5，则S△OAB＝________.11．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是________________．12．(2015·河南适应性练习)已知P为三角形ABC内部任意一点(不包括边界)，且满足(PB－PA)·(PB＋PA－2PC)＝0，则△ABC的形状一定为________三角形．13．设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积为________．14．(2015·邢台二模)如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为________．答案解析1．－8解析由题意知|AB|＝4，|BC|＝4，且AB与BC的夹角为π－＝，故AB·BC＝|AB||BC|cos＝－×4×4＝－8.2．－4解析向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－4.3．6解析如图所示，由题意可得，AD·BE＝AD·(BC＋CE)＝AD·BC＋AD·CE＝AD2－AD·AB＝22－×2×|AB|×cos60°＝1，|AB|＝6，即AB的长为6.4.解析∵(a＋2b)·(5a－4b)＝5a2＋6a·b－8b2＝5＋6a·b－8＝－3＋6a·b＝0，∴a·b＝，∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.5.解析依题意得AE·BF＝(AB＋BE)·(AF－AB)＝AB·AF－AB2＋BE·AF－BE·AB＝－2＋2－0＝.6.解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，又AC＝AD＋AB，∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB＋AD·AB－AB2＝|AD|2＋|AD||AB|cos60°－|AB|2＝1＋×|AB|－|AB|2＝1.∴|AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝.7．(－∞，－)∪(－，)解析由a，b夹角为钝角得a·b＝2x－21<0得x<，当a与b共线时，＝，则x＝－，故x的取值范围为x<且x≠－.8.解析由AP⊥BC知AP·BC＝0，即AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.9．－6解析依题意得AF＝AD＋DF＝AD＋AB，BE＝AE－AB＝AD－AB，AF·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AB2－AD·AB＝×32－×42－×3×4cos60°＝－6.10.解析由题意可得|OA|＝2，|OB|＝5，cos∠BOA＝＝＝－，因为∠AOB∈(0，π)，所以由同角三角函数基本关系式可得sin∠AOB＝，所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝.11．x<且x≠－解析∵θ为钝角，∴cosθ＝<0，即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，∴a与b反向，即θ＝π.故a与b的夹角为钝角时，x<且x≠－.12．等腰解析由等式(PB－PA)·(PB＋PA－2PC)＝0，得AB·[(PB－PC)＋(PA－PC)]＝0，即AB·(CB＋CA)＝0.又由平行四边形法则可知CA＋CB所得向量在底边AB的中线上，又点P为△ABC内部任意一点，则此时有底边AB与其中线垂直，所以△ABC的形状必为等腰三角形，故答案为等腰三角形．13．5解析由题意知OA＝(－2,1)，OB＝(4,3)，则|OA|＝，|OB|＝5，OA·OB＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos∠AOB＝＝＝－.∴sin∠AOB＝，∴S△OAB＝|OA||OB|sin∠AOB＝××5×＝5.14．－解析因为PA＋PB＝2PO，所以(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|.又因为|PO|＋|PC|＝3≥2，所以|PO|·|PC|≤(当且仅当|PO|＝|PC|＝时等号成立)．所以(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|≥－(当且仅当|PO|＝|PC|＝时等号成立)．
