第7练正弦定理、余弦定理及应用[明晰考情]1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为________.答案解析由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，因为cosB＝＝＝，且B为三角形的内角，所以sinB＝＝.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45°，则BC的长为________.答案解析由题意得c＝1，b＝.根据余弦定理得cosB＝＝＝，∴a2－a－1＝0， a>0，∴a＝，即BC＝.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝________.答案解析因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知，C为锐角，故C＝.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C＝________.答案解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA，sinA－cosA＝，2sin＝＝＋≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－＝，所以A＝，所以C＝＝.考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径).5.(2018·全国Ⅲ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝________.答案解析 S＝absinC＝＝＝abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.又 C∈(0，π)，∴C＝.6.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________.答案解析 S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2bcosA，B＝，c＝1，则△ABC的面积为______.答案解析 a＝2bcosA，∴由正弦定理可得sinA＝2sinB·cosA. B＝，∴sinA＝cosA，∴tanA＝.又 A为△ABC的内角，∴A＝.又B＝，∴C＝π－A－B＝，∴△ABC为等边三角形，∴S△ABC＝acsinB＝×1×1×＝.8.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，BA·BC＝2，则△ABC的面积为________.答案2解析因为bcosC＝3acosB－ccosB，由正弦定理得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，即sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，所以sin(B＋C)＝3sinAcosB.又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，所以sinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，解得cosB＝，所以sinB＝＝＝.由BA·BC＝2，可得cacosB＝2，解得ac＝6.所以S△ABC＝ac·sinB＝·6·＝2.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.9.在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，则△ABC面积的最大值为________.答案解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， AC·AB＝|AC－AB|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝≥1－＝1－，∴cosA≥，∴0＜sinA≤，∴0＜tanA≤.∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，故△ABC面积的最大值为.10.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则...
