第19讲数列中的推理与证明1.(2018扬州高三考前调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S13=6,则3a9-2a10=.2.(2018江苏苏州张家港月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为an=.3.(2018年江苏联考)若在x,y两数之间插入3个数,使这五个数成等差数列,其公差为d1(d1≠0),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d2≠0),那么d1d2=.4.(2017徐州王杰中学高三月考)设正项等比数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且满足2a3+S2=4,则满足66650,∴q=12,由题意有6665<2(1-q2n)1-q2(1-qn)1-q<1615,∴6665<1+(12)n<1615,∴165<(12)n<115,满足题意的最大正整数n的值为6.5.答案3解析设等差数列{an}的公差为d,则a3+a5=3+d+3+3d=4d+6=-2,d=-2,则an=a2+(n-2)×(-2)=-2n+7,前3项是正数项,从第4项开始是负数项,所以使得Sn取最大值时的正整数n=3.6.答案m≥34解析an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n2,bn=n2-1,则1bn=1n2-1=12(1n-1-1n+1),则1b2+…+1bn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1)=12(1+12-1n-1n+1)=12(32-1n-1n+1)<34,则m≥34.7.解析(1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*),所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2),所以an+1=3an(n∈N*,n≥2).又当n=1时,由S2=3S1+1及a1=1得a2=3,符合a2=3a1,所以an+1=3an(n∈N*),所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1(n∈N*).(2)因为bn+1-bn=an+1an=3(n∈N*),所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列,所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*).则λan+bn≤n2,即λ≤n2-3n3n-1对n∈N*有解.设f(n)=n2-3n3n-1(n∈N*).因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,所以当n≥4时,f(n+1)f(n),所以f(1)f(5)>f(6)>…,所以f(n)max=f(4)=427,所以λ≤427.
