第9讲立体几何的综合问题1.已知p:x2-2x-3<0;q:1x-2<0,若p且q为真,则x的取值范围是.2.已知△ABC的三边长分别为a,b,c且a2+b2-c2=ab,则∠C=.3.若存在实数x,使得x2-4bx+3b<0成立,则实数b的取值范围是.4.(2018苏州学业阳光指标调研)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=m.5.(2017无锡普通高中调研)在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠A=π3,M为DC的中点,N为平面ABCD内一点,若|⃗AB-⃗NB|=|⃗AM-⃗AN|,则⃗AM·⃗AN=.6.(2018江苏高考信息预测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在BC,CD上,且BE=23BC,DF=FC,AE与BF交于点H,设⃗AB=a,⃗AD=b,且⃗AH=xa+yb(x,y∈R),则x-y=.7.(2018江苏扬州中学高三模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,PA⊥平ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.(1)求证:FG∥平面PBD;(2)求证:BD⊥FG.8.(2018江苏盐城中学高三期末)如图,在△ABC中,B=π3,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.(1)若△BCD的面积为√33,求CD的长;(2)若ED=√62,求角A的大小.答案精解精析1.答案(-1,2)解析解不等式x2-2x-3<0得-10b<0⇒或b>34.4.答案18解析过点A作CD的垂线AE,垂足是E,设∠EAD=α,∠EAC=β,BD=xm,则tanα=9x,tanβ=6x,tan45°=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=9x+6x1-54x2=1,解得x=18(舍负),即BD=18m.5.答案6解析解法一:由|⃗AB-⃗NB|=|⃗AM-⃗AN|得|⃗AN|=|⃗NM|,则点N在线段AM的垂直平分线上,取AM的中点E,则EN⊥AM.又⃗AM=⃗AD+12⃗AB,则|⃗AM|2=(⃗AD+12⃗AB)2=|⃗AD|2+⃗AD·⃗AB+14|⃗AB|2=4+2×4×12+14×16=12,所以⃗AM·⃗AN=⃗AM·(⃗AE+⃗EN)=⃗AM·⃗AE=12|⃗AM|2=6.解法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则D(1,√3),M(3,√3),线段AM的垂直平分线方程为y=-√3x+2√3,由|⃗AB-⃗NB|=|⃗AM-⃗AN|得|⃗AN|=|⃗NM|,则点N在线段AM的垂直平分线上,设N(x,y),则⃗AM·⃗AN=3x+√3y=6.6.答案14解析分别延长BF,AD交于点O,由题设,得DO=BC=AD.又∵BE∥AO,∴AH∶HE=AO∶BE=3∶1,∴⃗AH=34⃗AE=34(⃗AB+⃗BE)=34(⃗AB+23⃗BC)=34⃗AB+12⃗AD=34a+12b.又∵⃗AH=xa+xb(x,y∈R),a与b不共线,∴x=34,y=12,x-y=34-12=14.7.证明(1)连接PE,因为G、F分别为EC和PC的中点,∴FG∥PE.又FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,所以FG∥平面PBD.(2)因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,因为PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵FG⊂平面PAC,∴BD⊥FG.8.解析(1)由已知得S△BCD=12BC·BD·sinB=√33,又B=π3,BC=2,∴BD=23.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=289,∴CD=2√73.(2)在△CDE中,CDsin∠DEC=DEsin∠DCE.∵AD=DC,∴∠A=∠DCE,∴CD=AD=DEsinA=√62sinA.在△BCD中BCsin∠BDC=CDsinB,又∠BDC=2∠A,∴2sin2A=CDsinπ3,∴CD=√3sin2A,∴CD=√62sinA=√3sin2A,解得cosA=√22,所以A=π4.
