第43课数列的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P38练习4改编)已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列，其中最小边长为3，那么该直角三角形的斜边长为.【答案】5【解析】设另一直角边长为b，斜边长为c，则3+c=2b，又32+b2=c2，解得c=5.2.(必修5P39习题8改编)已知x>0，y>0，x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的最小值是.【答案】4【解析】因为a1+a2=x+y，b1b2=xy，所以===+2≥2+2=4，当且仅当x=y时取“=”.3.(必修5P48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n行(n≥2)第2个数是.(第3题)【答案】【解析】设第n行的第2个数为an，不难得出规律，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，累加得an=.4.(必修5P44例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有个座位.【答案】8205.(必修5P55例5改编)某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2009年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币为元.【答案】【解析】由题知，到2009年1月1日可取回钱总数为a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)=.1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2.解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：(1)根据题意建立数列模型；(2)运用数列知识求解数列模型；(3)检验结果是否符合题意，给出问题的答案.【要点导学】要点导学各个击破子数列问题例1已知在等差数列{an}中，a2=5，前10项和S10=120，若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项，按原顺序组成新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】设{an}的公差为d，则所以an=3+(n-1)·2=2n+1，bn==2·2n+1.所以Tn=n+2(21+22+…+2n)=n+2·=2n+2+n-4.变式已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中的部分项组成的数列，…，，…恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求kn.【解答】由题设知，…，即为a1，a5，a17，…成等比数列，则(a1+4d)2=a1(a1+16d)，因为d≠0，所以a1=2d.公比q===3，所以=a1·qn-1=a1·3n-1，又=a1+(kn-1)·d=a1+(kn-1)·，所以a1+(kn-1)·=a1·3n-1，因为a1≠0，所以kn=2×3n-1-1.数列与函数、不等式等综合问题例2设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n∈N*).(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式.(2)设Sn为数列{bn}的前n项的和，其中bn=2f(n)，是否存在正整数n，t，使得<成立?若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)直接把n=1，2代入即可求出f(1)，f(2)的值；再把x=1，x=2代入综合求出f(n)的表达式.(2)先利用bn=2f(n)求出数列{bn}的通项公式，进而求出Sn；把Sn代入<，化简得<，再分t=1以及t>1求出其对应的n即可说明结论.【解答】(1)f(1)=3，f(2)=6.当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n，共有2n个格点；当x=2时，y取值为1，2，3，…，n，共有n个格点.所以f(n)=n+2n=3n.(2)因为bn=2f(n)=23n=8n，所以Sn==(8n-1).将Sn代入<，化简得<，①若t=1，<，即<，显然n=1.若t>1，①式化简为8n>，不可能成立.综上，存在正整数n=1，t=1使得<成立.【精要点评】本题综合考查了数列、不等式表示的平面区域、不等式恒成立问题等知识.在解题时，要时刻注意n的整数特征.变式已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求当4aSn1时，由二次函数的性质知不可能恒成立...
