第五章三角函数、解三角形第24课二倍角的三角函数课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin2α＝，则cos2等于________．[因为cos2＝＝＝＝＝.]2．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________.【导学号：62172135】[∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－，又α∈，∴sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tanθ＝－，则cos2θ＝________.[∵cos2θ＝＝.又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.]4．已知sinα＝，α∈，则＝________.－[＝＝cosα－sinα.∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－.∴原式＝－.]5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，则cos2α的值为________.【导学号：62172136】[∵sin(α－45°)＝－，∴sinα－cosα＝－，∴2sinαcosα＝，∴sinα＋cosα＝＝，∴sinα＝，cosα＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝.]6．(2016·山东高考改编)函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是________．π[法一：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝4＝4sincos＝2sin，∴T＝＝π.法二：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝＝π.]7．(2017·苏州模拟)若sin＝，则cos＝________.【导学号：62172137】－[cos＝cos＝－cos＝－＝－＝－.]8．化简＋2＝________.－2sin4[＋2＝＋2＝＋2＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.]9．(2017·南通模拟)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为________．－[∵3cos2α＝sin，∴3sin＝sin，∴3×2sincos＝sin.∴sin≠0，∴cos＝，即sinα＋cosα＝，∴sin2α＝－＝－.]10．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝______________.[∵cos4α－sin4α＝cos2α－sin2α＝cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)．∴sin2α＝.∴cos＝cos2αcos－sin2αsin＝cos2α－sin2α＝×－×＝.]二、解答题11．(2017·盐城期中)已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)＝－1，求cos的值．[解](1)因为f(x)＝sin2x－＝sin2x－－＝sin－，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)因为f(x)＝－1，所以sin－＝－1，即sin＝－，所以cos＝cos＝sin＝－.12．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.[解](1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin.所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于________．[由题意知f(x)＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝.]2．如图241，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sincos－的值为________．图241[由题意得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴sin∠AOB＝sin＝，∴cos2－sin·cos－＝·－－＝－sinα＋cosα＝sin＝sin＝sin＝.]3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．[解]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.4．已知函数f(x)＝2sinxsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．[解](1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，sin∈，f(x)∈.故f(x)的值域为.
