第七节正弦定理与余弦定理课时作业练1.在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC=.答案2解析由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由ABsinC=ACsinB知AC=AB·sinBsinC=√6·sin45°sin60°=2.2.在△ABC中,若a2-c2+b2=√3ab,则C=.答案30°解析cosC=a2+b2-c22ab=√3ab2ab=√32,又0°0,所以sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=3sinCcosA,又sinC>0,所以cosA=13.6.(2018盐城时杨中学高三月考)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b是方程x2-2√3x+3=0的两个根,且2sin(A+B)-√3=0,则c=.答案√3解析由a,b是方程x2-2√3x+3=0的两个根得a+b=2√3,ab=3,由2sin(A+B)-√3=0及A+B+C=π得sin(A+B)=sinC=√32,所以锐角△ABC中,C=π3,所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-9=3,所以c=√3.7.(2019江苏三校模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=√2,则∠C的值为.答案π6解析在△ABC中,sinB=sin(A+C),即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinCcosA+sinAsinC=0,又sinC≠0,所以cosA+sinA=0,tanA=-1,又A∈(0,π),所以A=3π4,sinA=√22,因为asinA=csinC,a=2,c=√2,所以sinC=12,因为C∈(0,π4),所以C=π6.8.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosB-bcosA=35c,则tanAtanB=.答案49.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在△ABC中,∠B=π3,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.(1)若△BCD的面积为√33,求CD的长;(2)若ED=√62,求角A的大小.解析(1)由已知得S△BCD=12BC·BD·sinB=√33,又∠B=π3,BC=2,∴BD=23,在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=289,∴CD=2√73.(2)∵在△CDE中,CDsin∠DEC=DEsin∠DCE,AD=DC,∴∠A=∠DCE,∴CD=AD=DEsinA=√62sinA,在△BCD中,BCsin∠BDC=CDsinB,由∠BDC=∠DCA+∠A=2∠A,得2sin2A=CDsinπ3,∴CD=√3sin2A,∴√62sinA=√3sin2A,解得cosA=√22,又A∈(0,π2),∴A=π4.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.函数f(x)=√1-log3x的定义域是.答案(0,3]2.设集合M={x|x+3x-2<0},N={x|(x-1)(x-3)<0},则集合M∩N=.答案(1,2)3.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=0解析因为y'=-5ex,所以曲线在点(0,-2)处的切线斜率为-5,切线方程为y+2=-5x,即为5x+y+2=0.4.已知函数f(x)={2-x,x≤0,log81x,x>0,若f(x)=14,则实数x的值为.答案3解析当x≤0时,f(x)=2-x=14,解得x=2(舍去);当x>0时,f(x)=log81x=14,解得x=3,符合题意,故实数x的值为3.5.(2019陕西延安模拟)已知函数y=xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1e+1)解析令g(x)=xex+x2+2x+a,则g'(x)=ex+xex+2x+2=(x+1)(ex+2),易知x<-1时,g'(x)<0,函数g(x)是减函数,x>-1时,g'(x)>0,函数g(x)是增函数,所以函数g(x)的最小值为g(-1)=-1-1e+a,要使函数y=xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点,只需-1-1e+a<0,即a<1+1e.6.给出下列三个命题:(1)命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”;(2)若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1;(3)在△ABC中,“A>45°”是“sinA>√22”的充要条件.其中正确的命题有.(填所有正确命题的序号)答案(1)解析命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x∈R,cosx≤0”,(1)是真命题;若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1或a=0,(2)是假命题;在△ABC中,“A>45°”是“sinA>√22”的必要不充分条件,(3)是假命题,所以正确的命题有(1).7.(2019江苏宿迁高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cosA(bcosC+ccosB)=a.(1)求角A;(2)若cosB=35,求sin(B-C)的值.解析(1)由已知及正弦定理可知,2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,即2cosAsinA=sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以2cosA=1,即cosA=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为cosB=35,B∈(0,π),所以sinB=√1-cos2B=45.所以sin2B=2sinBcosB=2425,cos2B=1-2sin2B=-725.由(1)知A=π3,则B+C=23π,故C=23π-B.所以sin(B-C)=sin[B-(2π3-B)]=sin(2B-2π3)=sin2Bcos2π3-cos2Bsin2π3=2425×(-12)-(-725)×√32=7√3-2450.
