第21课弧度制与任意角的三角函数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P15练习6改编)若sinα<0，cosα<0，则α是第象限角.【答案】三【解析】由sinα<0，cosα<0，知对应的角α是第三象限角.2.(必修4P10习题10改编)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是.【答案】-【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为-×2π=-.3.(必修4P14例1改编)已知角α的终边与单位圆交于点，那么tanα=.【答案】-【解析】根据三角函数的定义，知tanα===-.4.(必修4P10习题8改编)已知某扇形的半径为10，面积为，那么该扇形的圆心角为.【答案】【解析】由S=αr2=α·102=，得α=.5.(必修4P14例1改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=.【答案】-8【解析】由正弦值为负数，且横坐标为正，可知该角为第四象限角，则sinθ==-y=-8.1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角.(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}.2.角的度量(1)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.(2)弧度制与角度制的关系：1°=弧度(用分数表示)，1弧度=度(用分数表示).(3)弧长公式：l=|α|r.(4)扇形面积公式：S=rl=|α|r2.3.任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r=)，则sinα=，cosα=，tanα=.4.三角函数的定义域在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R、R、.5.三角函数的符号规律第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”.简称：一全、二正、三切、四余.6.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP叫作角α的正弦线，有向线段OM叫作角α的余弦线；过点A(1，0)作单位圆的切线，交角α的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线.【要点导学】要点导学各个击破象限角的表示例1(1)若角θ的终边与120°角的终边重合，则是第几象限角?(2)若角θ是第三象限角，判定2θ，是第几象限角.【解答】(1)θ=120°+k·360°，k∈Z，所以=60°+k·180°，k∈Z.若k为偶数，则是第一象限角，若k为奇数，则是第三象限角.综上，是第一或第三象限角.(2)因为180°+k·360°<θ<270°+k·360°，k∈Z，所以360°+2k·360°<2θ<540°+2k·360°，k∈Z，所以2θ是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上的角.90°+k·180°<<135°+k·180°，k∈Z.若k为偶数，则是第二象限角，若k为奇数，则是第四象限角.所以是第二或第四象限角.变式(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在x轴上呢?(2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?(3)已知α=，角β的终边与α的终边关于直线y=x对称，求角β的集合.【解答】(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合是{β|β=k·360°，k∈Z}，终边落在x轴上的角的集合是{β|β=k·180°，k∈Z}.(2){β|β=k·90°，k∈Z}.(3).例2已知α=30°，β=60°，γ=300°，OA，OB，OC分别是角α，β，γ的终边.(1)分别写出两图中阴影部分(含边界)的所有角的集合；(2)写出图(2)中阴影部分在[0°，360°]上的所有角的集合.图(1)图(2)(例2)【思维引导】(1)选择两条射线分别作为边界，一般按照逆时针方向确定范围；(2)一般用连续的范围表示区域角，若不能，也可以分段表示.【解答】(1)图(1)中OA可看作α的终边，OB可看作β的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ1|k·180°+30°≤θ1≤k·180°+60°，k∈Z}.图(2)中OC可看作-60°的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ2|k·360°-60°≤θ2≤k·360°+30...
