第42练数列的概念与简单表示法[基础保分练]1．数列，－，，－，…的第5项是________．2．在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________.3．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2019的值为________．4．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2.否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝________.5．已知数列{an}(n∈N*)满足：a1＝1，an·an＋1＝2n，则a2019＝________.6．已知数列{an}的通项公式是an＝(2n＋1)n，n∈N*，则{an}中的最大项的序号是________．7．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝a，a2＝a2，an＋2＝an＋1－an，S56＝6，则a＝________.9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________．10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，给出下列说法：①数列{an}中的最大项和最小项分别是a10，a9；②数列{an}中的最大项和最小项分别是a9，a10；③数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a9；④数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a10.其中，说法正确的是________．(填序号)[能力提升练]1．已知数列：，，，，，，，，，…，根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为________．2．已知函数f(x)＝记an＝f(n)(n∈N*)，若{an}是递减数列，则实数t的取值范围是________．3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1，若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为________．4．(2019·盐城期中)已知数列{an}满足2anan＋1＋an＋3an＋1＋2＝0，其中a1＝－，设bn＝，若b3为数列{bn}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是________．5．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则k的最大值为________．6．正整数数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝将数列{an}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{nk}，k∈N*，nk＋1＝________________.(用nk表示)答案精析基础保分练1.2.193.4.155.210096.97．10或11解析∵an＝－n2＋10n＋11，∴a1＝20>0，an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，当(n－5)2<36时，an＝－(n－5)2＋36>0，当(n－5)2>36时，an＝－(n－5)2＋36<0，当n＝11时，an＝0，∴当Sn最大时，有n＝10,11.8．－3或2解析由题设可得an＋3＝an＋2－an＋1，即an＋3＝－an，故an＋6＝an，而a1＝a，a2＝a2，a3＝a2－a1＝a2－a，a4＝－a1＝－a，a5＝－a2，a6＝a5－a4＝－a2＋a，所以S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，而56＝6×9＋2，所以S56＝a1＋a2＝a＋a2＝6，解得a＝－3，a＝2.9．an＝2n－11解析当n＝1时，a1＝S1＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10(n－1)＝2n－11，经检验a1也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n－11.10．①解析已知an＝＝1＋(n∈N*)，设f(x)＝1＋，∵－>0，∴f(x)在(0，)和(，＋∞)上都是减函数．大致图象如图所示．∴当n＝9时，an取得最小值；当n＝10时，an取得最大值．故填①.能力提升练1．22.3.44.(5,7)5．4解析对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，可得当n＝1时，a1＝S1＝2或3；若n＝2，由S2∈{2,3}，可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3，－1；若n＝3，由S3∈{2,3}，可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1，－1；或3,0,0；或3,0，－1；或3，－1，0；或3，－1,1；若n＝4，由S4∈{2,3}，可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1，－1；或2,1,0,0；或2,1,0，－1；或2,1，－1,0；或2,1，－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0，－1；或3,0，－1,0；或3,0，－1,1；或3，－1,0,0；或3，－1,0,1；或3，－1,1,0；或3，－1,1，－1；…；即有n>4后任一项都为0或1或－1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2,0,1，－1，或3,0,1，－1.6．nk＋1＝3nk＋1，或nk＋1＝nk＋3k(k＝1,2,3…)解析因为a1＝1，n≥1，a2＝1＋1＝2，a3＝2＋2＝4，由题设可知an＋1＝1⇒an＝n＋1，而通过计算不难看出其规律：要么被3整除余1，即3nk＋1的形式，要么是3k＋nk的形式，故nk＋1＝3nk＋1，或nk＋1＝nk＋3k(k＝1,2,3，…)．
