第32课正弦定理与余弦定理的综合应用(本课对应学生用书第68-70页)自主学习回归教材1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角:是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角,目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角:是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30°,南偏西45°.(3)方位角:是指北方向顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角:是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比:是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析:理解题意,弄清已知和未知,画出示意图;(2)建模:根据条件和目标,构建三角形,建立一个解三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的角是否符合实际意义,从而得到实际问题的解.1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则cosC=.[答案]-[解析]由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理知cosC==-.2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=.[答案][解析]由sinC=2sinB得c=2b,代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a=b,所以cosA==,所以A=.3.(必修5P24复习题2改编)在△ABC中,若a-b=ccosB-ccosA,则△ABC的形状为.[答案]等腰或直角三角形[解析]方法一:因为a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sin(B+C)-sin(A+C)=sinCcosB-sinCcosA,所以sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,所以cosC·(sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinB=sinA,所以C=90°或B=A,所以△ABC为等腰或直角三角形.方法二:因为a-b=ccosB-ccosA,所以a-b=c-c,所以(a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.4.(必修5P17习题6改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+csinC-asinC=bsinB,那么B=.[答案]45°[解析]由正弦定理得a2+c2-ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,故cosB=,因此B=45°.5.(必修5P24复习题7改编)如图,已知∠A为定角,点P,Q分别在∠A的两边上,PQ为定长,则△APB的面积最大值为.(第5题)[答案][解析]设∠A=α,PQ=a,AP=x,AQ=y,其中α,a为定值,由余弦定理得a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xy·cosα=2xy(1-cosα),因为1-cosα>0,所以xy≤,所以S△APQ=xysinα≤,当且仅当x=y时取等号.
