考点03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、已知命题“∃x∈[1，2]，x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x∈[1，2]，x2＋2x＋a<0.因为y＝x2＋2x在区间[1，2]上单调递增，所以x2＋2x≤8<－a，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a的取值范围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2，2]【解析】因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p：∀x∈R，x2+1＞m，解得：m＜1；命题q：指数函数f（x）=（3-m）x是增函数，则3-m＞1，解得：m＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p，q一真一假，p真q假时：无解，p假q真时：，解得：1≤m＜2，故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁RB)＝A；③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋(k∈Z)；④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a－b的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁RB＝(－1，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝A；命题③真，若φ＝kπ＋(k∈Z)，则f(x)＝sin(ωx＋kπ＋)＝±cosωx为偶数；命题④假，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以由三角形法则可得|a|，|b|的夹角为60°，b与(a－b)的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p：∃x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，]上恒成立，即cos2x＋cosx＝m.令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x∈[0，]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．6、已知命题p1：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0成立；p2：对任意x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题：①(綈p1)∧(綈p2)；②p1∨(綈p2)；③(綈p1)∧p2；④p1∧p2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】 方程x＋x0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x＋x0＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题． 綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．7、设命题p：函数f(x)＝是R上的减函数；命题q：函数g(x)＝x2－4x＋3在区间[0，a]上的值域为[－1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】∪【解析】因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q中有且仅有一个命题为真命题．若命题p为真，则0
