专题限时集训(十九)[第19讲函数与方程和数形结合思想](时间：45分钟)1．已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝()A．3B．－3C.D．－2．已知复数z1＝m＋2i，z2＝2＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数m的值为()A．1B．－1C．4D．－43．已知且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为()A.B.C.D.4．方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是()A．[－3，1]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[－1，1]5．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()A．[a，b]B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1]D．无法确定6．已知公差不为0的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5＝10，则S5等于()A．30B．40C．50D．607．F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.8．已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为()A．1B．2C．4D．4或19．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设圆内过点(2，5)的最长弦与最短弦分别为AB，CD，则直线AB与CD的斜率之和为________．10．长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，OC＝mOA＋nOB，则m＋n的最大值是________．11．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．12．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos2B＝cos2B＋2cosB.(1)求角B的大小；(2)若a＝2，S＝2，求b的值．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝3bn－λ·2(λ∈R)，若{cn}满足：cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．14．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．专题限时集训(十九)【基础演练】1．A[解析]因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2＋λa·b＝3×12＋λ×1×2×cos＝0，解得λ＝3.2．A[解析]z1·z2＝(m＋2i)(2＋i)＝(2m－2)＋(m＋4)i，只要2m－2＝0且m＋4≠0即可，解得m＝1.3．B[解析]不等式组所表示的平面区域是下图中的△ABC，u表示平面区域上的点到点(2，2)距离的平方．根据题意只能是点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离最小，这个最小值是，故所求的最小值是.4．A[解析]构造函数f(x)＝sin2x＋2sinx，则函数f(x)的值域是[－1，3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.【提升训练】5．A[解析]当函数的图象左右平移时，不改变函数的值域．6．A[解析]设公差d≠0，由lga1＋lga4＝2lga2，得a＝a1·a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)⇒a1＝d.又a5＝a1＋4d＝10，∴a1＝d＝2，∴S5＝5a1＋d＝30.7．A[解析]作图可知，设|PF2|＝r，则|PF1|＝2r，|F1F2|＝r.由椭圆的定义得2a＝3r，2c＝r，故椭圆的离心率为e＝＝.故选A.8．C[解析]依题意f(1)＋f(a)＝2，且f(1)＝0，所以f(a)＝2.当a>0时，得log2a＝2，求得a＝4；当a<0时，无解．综合得a＝4.故选C.9．0[解析]将圆的方程化成标准方程形式得(x－3)2＋(y－4)2＝25，所以过点(2，5)的最长弦AB的斜率为kAB＝＝－1.若要使弦CD最短，则CD⊥AB，所以kCD＝1，此时kAB＋kCD＝0.10.[解析]建立平面直角坐标系(如图)，设向量OA＝(2，0)，则向量OB＝(1，)，向量OC＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤.由OC＝mOA＋nOB，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，n)，即2cosα＝2m＋n，2sinα＝n，解得m＝cosα－sinα，n＝sinα.故m＋n＝cosα＋sinα＝sinα＋≤.11．[9，＋∞)[解析]方法1： ab＝a＋b＋3，∴a≠1，b＝>0，从而a>1或a<－3.又a>0，∴a>1，∴a－1>0，∴ab＝f(a)＝a·＝(a－1)＋＋5≥9，当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号，当1
3时函数f(a)单调递增，∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法2：设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根，从而有解得t≥9，即ab≥9.12．解：(1)由2cos2B＝cos2B＋2cosB，可得2cos2B＝2cos2B－1...
