一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则该圆柱的底面积是()A．24π2B．36π2C．36π2或16π2D．9π或4π解析：选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π，故底面圆的半径为3或2，所以底面圆的面积是9π或4π.2．(2011·高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2C．2D.解析：选B.设底面边长为x，则V＝x3＝2，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.3．(2011·高考湖南卷)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.π＋12B.π＋18C．9π＋12D．36π＋18解析：选B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V＝32×2＋π3＝18＋π.4．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的()A.B.C.D.解析：选B.由题意可得截面圆半径为R(R为球的半径)，所以截面面积为π(R)2＝πR2，又球的表面积为4πR2，则＝，故选B.5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．8B．6C．10D．8解析：选C.将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.二、填空题6．(2012·洛阳质检)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．解析：由正视图知该圆锥的底面半径r＝1，母线长l＝3，∴S圆锥侧＝πrl＝π×1×3＝3π.答案：3π7.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1－BCO的体积为________．解析：V＝S△BOC·B1B＝×BO·BC·sin45°·B1B＝××2××2＝.答案：8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．解析：由πR3＝，得R＝2，∴正三棱柱的高h＝4.设这个三棱柱的底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4，∴V＝·a·a·h＝48.答案：48三、解答题9．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积．解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC＝4cm，∠ASO＝30°，O1C＝OA，设O1C＝r，则OA＝2r，又＝＝sin30°，∴SC＝2r，SA＝4r，∴AC＝SA－SC＝2r＝4cm，∴r＝2cm.所以圆台的侧面积为S＝π(r＋2r)×4＝24πcm2.10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．11．(2012·广州调研)如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积．解：(1)证明：在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.(2)由(1)可知BC为三棱锥B—ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB—ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D—ABC的体积为.
