衡水万卷作业(八)立体几何(二)考试时间:45分钟姓名:__________班级:__________考号:__________题号一总分得分一、解答题(本大题共5小题,共100分)(2015湖北高考真题)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为,求的值.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。如图:四棱锥中,(1)证明:平面(2)在线段上是否存在一点,使直线与平面成角正弦值等于,若存在,指出点位置,若不存在,请说明理由.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点(不包括端点).PM⊥平面ABCD交AD于点M,MN⊥BD于点N.(1)设AP=x,将PN长表示为x的函数;(2)当PN最小时,求异面直线PN与A1C1所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;(Ⅱ)若二面角A′-MN-C为直二面角,求λ的值.DD1C1A1EFABCB1衡水万卷作业(八)答案解析一、解答题(解法1)(Ⅰ)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以.而,所以.又因为,点是的中点,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面的交线.由(Ⅰ)知,,所以.又因为底面,所以.而,所以.故是面与面所成二面角的平面角,设,,有,在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.(解法2)(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设,,则,,点是的中点,所以,,于是,即.又已知,而,所以.因,,则,所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.考点:1.四棱锥的性质,2.线、面垂直的性质与判定,3.二面角.(1)交线圈成的正方形EHGF如图;(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM==4,EM==8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),,设是平面EHGF的法向量,则即,所以可取又,故.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为。(1)略;(2)存在,F为PD的中点解析:(1)证明:取线段BC中点E,连结AE.因为AD=,∠PDA=30°,所以PA=1.因为AD∥BC,∠BAD=150°所以∠B=30°.又因为AB=AC,所以AE⊥BC,而BC=2,所以AC=AB==2,因为PC=,所以PC2=PA2+AC2,即PA⊥AC.因为PA⊥AD,且AD,AC⊂平面ABCD,AD∩AC=A,所以PA⊥平面ABCD.(2)解:以A为坐标原点,以AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),B(1,,,0),处(1,,,0),D(0,,,0),设,因为点F在线段PD上,设,可得,即,所以,设平面PBC的法向量为,则有,即,令x=1,得,因为直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于,所以,解得,所以点F是线段PD的中点..【思路点拨】证明线面垂直通常利用其判定定理转化为线线垂直进行证明,遇到线面角问题,可建立空间直角坐标系利用空间向量的夹角进行求值.考点:异面直线及其所成的角;函数解析式的求解及常用方法.专题:计算题;函数的性质及应用;空间角.分析:(1)求出PM,AM,运用余弦定理,求得PN;(2)求出PN...