衡水万卷作业（二十六）数列综合题（二）考试时间：45分钟姓名：__________班级：__________考号：__________一、解答题（本大题共5小题，共100分）在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.(1)求;(2)若,求将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列．（I）求数列的通项公式；（II）令，其中，求数列的前项和．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝．（Ⅰ）求{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）证明：≤＋＋…＋＜．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）令=求数列的前项和。5.已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.衡水万卷作业（二十六）答案解析一、解答题解:(Ⅰ)由已知得到:;(Ⅱ)由(1)知,当时,,①当时,②当时,所以,综上所述:;解：（I），其极值点为，………（2分）它在区间内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列，∴；………（6分）（II）∵∴，∴，………（8分），∴当时，相减，得，………（10分）∴，综上，数列的前项和．………（12分）解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则消去d，得q2＋q－12＝0，解得q＝－4（舍去），或q＝3，从而可得d＝3．∴an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝3n－1．……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），得Sn＝＝，∴＝＝(－)．∴＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．∵n≥1，∴0＜≤，∴≤1－＜1，∴≤(1－)＜．故≤＋＋…＋＜．………………………………………………………13分解：（I）解得（II）解：（1）∵为偶数，∴可设，故，若为偶数，则，由成等差数列，可知，即，解得，故；（2分）若为奇数，则，由成等差数列，可知，即，解得，故；∴的值为0或2．（4分）（2）∵是奇数，∴，，，依此类推，可知成等比数列，且有，又，，，…∴当时，；当时，都有．（3分）故对于给定的，的最大值为，所以．（6分）（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：当时，由已知为正整数，可知为非负整数，故结论成立；假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．故总有为非负整数．（3分）当为奇数时，；当为偶数时，．故总有，所以，当时，，即．（6分）又必为非负整数，故必有．（8分）【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】
