衡水万卷作业（二十五）数列综合题（一）考试时间：45分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一总分得分一、解答题（本大题共5小题，共100分）设数列各项均为正数，且满足．（I）求证：对一切n≥2，都有（II）已知前n项和为，求证：对一切n≥2，都有．设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。（1）时，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有成立。（2015重庆高考真题）在数列中，（I）若求数列的通项公式；（II）若证明：已知首项大于的等差数列的公差，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中．①求数列的通项；②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．衡水万卷作业（二十五）答案解析一、解答题（Ⅰ）∴，解得0＜＜1，当n=2时，，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即，则当n=k+1时，,故当n=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有．（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-，x＞0则f′(x)=-=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得＜ln(n+2)-ln(n+1)，对一切n≥2，≤+++…+＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．∴对一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．．解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论解：(1)由有若存在某个，使得，则由上述递推公式易得.重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意，.从而既是一个公比q=2的等比数列.故.（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为变形为.由上式及归纳可得因为，所以对求和得.另一方面，由上已证的不等式知得.综上，.【答案】（1）（2）①②1【解析】（1）数列的首项，公差，，，2，整理得解得或（舍去）．因此，数列的通项．（2）①，．令，则有，．当时，，．因此，数列的通项．②，，，若数列为等比数列，则有，即，解得或．当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．【思路点拨】，则，，．求出通项，当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．（1）当时，当时，∴时，，当时，∴是“H数列”（2）对，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）设的公差为d令，对，，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．的前ｎ项和，令，则∵对，是非负偶数，∴即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.
