一、选择题1．(2012·宁德质检)已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78解析：选A.a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．2D．2解析：选D.F＝F＋F＋2F1·F2＝28，所以|F3|＝2.3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.B．－C.D．－解析：选C.b＝(2a＋b)－2a＝(－5,12)，易求得|a|＝5，|b|＝13，则cos〈a，b〉＝＝.4．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则三角形ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，∴AC·2BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.故选C.5．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.，B.，C.，D.，解析：选C.由m⊥n可得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，所以角A＝，B＝－C.由acosB＋bcosA＝csinC得sinC＝1，所以C＝，故B＝.二、填空题6．若平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于________．解析：由AB＋BC＋CA＝0可得(AB＋BC＋CA)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB·BC＋BC·CA＋CA·AB)＝0，AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25.答案：－257．设非零向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围________．解析： a，b的夹角为钝角，∴a·b＝x·－3x＋2x·2＝－3x2＋4x＜0，解得x＜0或x＞.①又由a，b共线且反向可得x＝－，②由①②得x的范围是∪∪.答案：∪∪8．(2012·合肥质检)关于平面向量a，b，c，有下列几个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|(a、b不共线)；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④若非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题；因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题④假．答案：②三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，AC＝b，求△ABC的面积．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3代入上式，求得a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝.(3)由(1)知，∠BAC＝θ＝，|AB|＝|a|＝4，|AC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝|AC||AB|sin∠BAC＝3.10．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.(1)若|OA＋OC|＝，求OB与OC的夹角；(2)若AC⊥BC，求tanα的值．解：(1)因为|OA＋OC|＝，所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，所以cosα＝.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.又因为∠AOB＝，所以OB与OC的夹角为.(2)AC＝(cosα－2，sinα)，BC＝(cosα，sinα－2)．因为AC⊥BC，所以AC·BC＝0，所以cosα＋sinα＝，①所以(cosα＋sinα)2＝，所以2sinαcosα＝－.又因为α∈(0，π)，所以α∈.因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－.②由①②得cosα＝，sinα＝，所以tanα＝－.一、选择题1．向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|等于()A.B．2C．2D．4解析：选B. |a|＝|b|＝2，a·b＝－2，∴cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴sinθ＝.∴|a×b|＝2×2×＝2.2．(2012·泉州调研)在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角...
