•平面向量基本概念向量定义及表示方法定义表示方法向量运算规则010203加法运算减法运算数乘运算共线、垂直与平行条件共线向量垂直向量两个向量正交或垂直，当且仅当它们的内积为零。即，若a·b=0，则a⊥b。内积定义及计算方法内积定义计算公式内积性质探讨交换律分配律与标量乘法结合律夹角与长度关系夹角计算cosθ=A·B/(||A||*||B||)，其中θ为两向量夹角。投影长度A在B上的投影长度为||A||cosθ，B在A上的投影长度为||B||cosθ。直角坐标系中内积计算定义性质几何意义极坐标系中内积计算定义几何意义设两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的极坐标分别为$(r_1,\theta_1)$和$(r_2,\theta_2)$，则它们的内积定义为与直角坐标系中的几何意义相同，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta$，其中$\vec{a}\cdot\vec{b}=r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)$。$\theta$为两向量夹角。性质与直角坐标系中的性质类似，极坐标系中的内积也满足交换律、分配律和结合律等性质。一般坐标系下内积计算定义性质几何意义判断两直线是否垂直或平行垂直性判断平行性判断求两直线夹角大小夹角公式夹角范围判断三角形形状及面积计算三角形形状判断通过计算三角形三边对应向量的内积，可判断三角形的形状。若三边对应向量的内积均为正，则三角形为锐角三角形；若其中两边对应向量的内积为负，则三角形为钝角三角形；若三边对应向量的内积均为零，则三角形为直角三角形。三角形面积计算利用平面向量内积公式，推导出三角形面积计算公式。通过计算三角形两边对应向量的内积和模长，以及两边夹角大小，可求出三角形的面积。高维空间向量概念引入高维空间定义高维空间向量表示高维空间向量内积定义及性质内积定义内积性质对于n维空间中的两个向量a和b，其内积定义为a·b=a1b1+a2b2+...+anbn。满足交换律、分配律、正定性等，可用于度量向量间相似度、计算距离等。VS高维空间向量夹角与长度关系夹角定义长度计算关键知识点总结回顾01020304内积定义内积性质投影与内积内积应用思考题布置思考内积的几何意义探究投影与内积关系推导内积性质拓展内积应用
