几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：①若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k②若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系①可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB为钝角（再转为向量：0CACBuuruuur；若点在圆上，则ACB为直角（0CACBuuruuur）；若点在圆外，则ACB为锐角（0CACBuuruuur）（3）三点共线问题①通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线②通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：1122,,,axybxyrr，则,abrr共线1221xyxy；abrr12120xxyy（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点112233,,,,,AxyBxyCxy，则ABCV的重心123123,33xxxyyyG（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IPACIQAQI在BAC的角平分线上AIACAIABAPAQACABuuruuuruuruuuruuuruuur（4）P是以,DADB为邻边的平行四边形的顶点DPDADBuuuruuuruuur（5）P是以,DADB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上段的（6）共线线段长度的乘积：若,,ABC共线，则线BCAIQPAPDBAPDBABC乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：ACABACABuuuruuur，ACBCACBCuuuruuur二、典型例题：例1：如图：,AB分别是椭圆2222:10xyCabab的左右顶点，F为其右焦点，2是,AFFB的等差中项，3是,AFFB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于,AB的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQAP，并交直线l于点Q。证明：,,QPB三点共线解：（1）依题意可得：,0,,0,,0AaBaFc2Q是,AFFB的等差中项42AFFBacaca3Q是,AFFB的等比中项22223AFFBacacacbQ椭圆方程为：22143xy（2）由（1）可得：2,0,2,0,1,0ABF设:2APykx，设11,Pxy，联立直线与椭圆方程可得：另一方面，因为FQAP1FQkk1:1FQyxk，联立方程：1132,2yxQkkx,,BQP三点共线例2：已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若△OMF的面积为21，且椭圆的离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）111222OMFSOMOFbcV椭圆方程为：2212xy（2）设),(11yxP，),,(22yxQ由（1）可得：0,1,1,0MF1MFkFQ为△PQM的垂心设:PQyxm由F为△PQM的垂心可得：MPFQ1212110MPFQxxyyuuuruuur①因为,PQ在直线yxm上1122yxmyxm，代入①可得：即0)1)((222121mmmxxxx②考虑联立方程：2222yxmxy得0224322mmxx．1243mxx,322221mxx．代入②可得：解得：43m或1m当1m时，△PQM不存在，故舍去当34m时，所求直线l存在，直线l的方程为34xy小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆)0(12222babyax的一个焦点是1,0F，O为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F且不垂...
