第十二章12.2.4“HL”知识点1:斜边、直角边定理(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)关键提醒:1.“HL”这个结论是直角三角形特有的判定方法,对于一般的三角形不适用.因此,在应用“HL”证明两个三角形全等,一定要指出两个三角形是直角三角形,或指出含有90°的角.2.对于直角三角形证明全等的方法有五种:SSS、SAS、ASA、AAS和HL.3.在直角三角形中,若已知两条边对应相等时,这样的两个三角形一定是全等的.知识点2：灵活地选择三角形全等的条件一般三角形的全等方法的证明有四个:SSS、SAS、ASA、AAS.而对于直角三角形则还有HL.选择合适的判定方法,可以使证明过程简化.归纳整理:(1)根据提供的不同的已知条件,证明两个三角形全等通常有以下四种思路:(2)当两个三角形是直角三角形时,则首先考虑HL能否证明全等.(3)已知两边和一边的对角不能判定两个三角形全等,即SSA不能判定两个三角形全等.(4)三个角对应相等的两个三角形也不一定全等.考点1：利用“HL”证明两个三角形全等【例1】如图,AC=AD,∠C=∠D=90°,求证:BC=BD.证明:在Rt△ABC和Rt△ABD中,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).∴BC=BD(全等三角形的对应边相等).点拨：本题条件中已知两三角形为直角三角形,可考虑利用HL证明.考点2：灵活选择方法证明三角形全等【例2】如图,两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图(1)摆放,使直角顶点重合.将图(1)中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图(2),点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.(1)不添加辅助线,写出图(2)中所有与△BCF全等的三角形;(2)将图(2)中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图(3).探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;(3)在(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:G1I=CI.(1)(2)(3)解:(1)图(2)中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH.(2)D1F1=AH1.证明如下 ∠A=∠D1=30°,CA=CD1,∠F1CA=∠H1CD1,∴△AF1C≌△D1H1C.∴F1C=H1C.又CD1=CA,∴CD1-F1C=CA-H1C,即D1F1=AH1.(3)如图,连接CG1.在△D1G1F1和△AG1H1中, ∠D1=∠A,∠D1G1F1=∠AG1H1,D1F1=AH1,∴△D1G1F1≌△AG1H1.∴G1F1=G1H1.又H1C=F1C,G1C=G1C,∴△CG1F1≌△CG1H1.∴∠1=∠2. ∠B=60°,∠BCF=30°,∴∠BFC=90°.又∠DCE=90°,∴∠BFC=∠DCE.∴BA∥CE.∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴G1I=CI.点拨:(1)本题要结合直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半,以及ASA判定三角形全等的方法解决;(2)首先根据ASA证明△AF1C≌△D1H1C,然后再根据全等三角形的性质得到线段相等,进而求解.(3)首先根据AAS证明三角形全等,然后再依据全等三角形的性质和三角形中各角之间的关系求解.考点3：利用全等三角形证两直线平行与垂直【例1】如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使AB∥ED成立,并给出证明.供选择的三个条件(请从其中选择一个):①AB=DE;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.解:由上面两条件不能证明AB∥ED.有两种添加方法.第一种:FB=CE,AC=DF,添加①AB=DE.证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.第二种:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.证明如下:因为FB=CE,所以BC=EF,又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED.点拨：两直线平行的判定方法是“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”或“同旁内角互补,两直线平行”,因此在本题中,要使AB∥ED,只需证∠ABC=∠DEF,这可化归为证“全等三角形的对应角相等”,而题中给出全等的两个条件后,尚缺一个条件,通过题中给出的条件,添加一个,可以满足SSS或SAS,问题便可以解决了.考点4：利用全等三角形证线段之间的和差关系【例4】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.证明:(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE.因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.(2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=F...
