精品文档精品文档05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念[典例](1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[解析](1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)C(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点(二)平面向量的线性运算1．向量的线性运算：加法、减法、数乘2．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.平面向量的线性运算[例1](1)在△ABC中，uuurAB＝c，uuurAC＝b.若点D满足uuurBD＝2uuurDC，则uuurAD＝()A.13b＋23cB.53c－23bC.23b－13cD.23b＋13c(2)在△ABC中，N是AC边上一点且uuuurAN＝12uuurNC，P是BN上一点，若uuurAP＝muuurAB＋29uuurAC，则实数m的值是________．[解析](1)由题可知uuurBC＝uuurAC－uuurAB＝b－c， uuurBD＝2uuurDC，∴uuurBD＝23uuurBC＝23(b－c)，则uuurAD＝uuurAB＋uuurBD＝c＋23(b－c)＝23b＋13c，故选D.(2)如图，因为uuuurAN＝12uuurNC，所以uuuurAN＝13uuurAC，所以uuurAP＝muuurAB＋29uuurAC＝muuurAB＋23uuuurAN.因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，则m＝13.[答案](1)D(2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用精品文档精品文档[例2]设两个非零向量a和b不共线．(1)若uuurAB＝a＋b，uuurBC＝2a＋8b，uuurCD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：因为uuurAB＝a＋b，uuurBC＝2a＋8b，uuurCD＝3(a－b)，所以uuurBD＝uuurBC＋uuurCD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5uuurAB，所以uuurAB，uuurBD共线．又uuurAB与uuurBD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．[方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使uuurAB＝λuuurAC，uuurAB与uuurAC有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．突破点(三)平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底的概念[例1]如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－...
