微积分习题讲解与答案VIP免费

习题1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程：(1)02)(2xyyyyx(2)02yyxyx(3)0)(sin42yxyyx(4)2sinddpp解(1)1阶非线性(2)1阶线性(3)3阶线性(4)1阶线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解(1)xxyxyyxsin,cos(2)2212,2)1(xCyxxyyx(C为任意常数)(3)xCeyyyy,02(C为任意常数)(4)xxeCeCyyyy21212121,0)((C1,C2为任意常数)(5)Cyxyxyxyyx22,2)2((C为任意常数)(6))ln(,02)(2xyyyyyyxyxxy解(1)是，左=xxxxxxxxcossinsincos2=右(2)是，左=xxCxxCxx2)12(1)1(222=右(3)是，左=02xxxCeCeCe=右(4)是，左=0)())(()(2121212121221121222211xxxxxxeCeCeCeCeCeC=右(5)是，左=yxyxyxyx222)2(右(6)是，左=xxyyxxyyyxxyyxxxyxyxyxyxxy2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232xxyxxyyyxxyxyxxyxyxyxy=右3.求下列微分方程的解(1)2ddxy;(2)xxycosdd22;(3)0d)1(d)1(yyxy(4)yxxyy)1()1(22解(1)Cxyxy2,d2d(2)1sin,dcosdCxyxxxy211cos,d)(sindCxCxyxCxxy(3)xyyydd11xyyydd12)1(解得xyyydd12d即Cxyy|1|ln2(4)dxxxdyyy)1(122解得2122)1ln()1ln(Cxy整理得22211Cxy4.已知曲线)(xfy经过原点，并且它在点),(yx处的切线的斜率等于22x，试求这条曲线的方程。解已知22xy解得Cxy332又知曲线过原点，得0C所求曲线方程为332xy习题1.用分离变量法求下列微分方程的解(1)yxy4(2)0lnyyyx(3)yxy10(4)0dtansecdtansec22yxyxyx(5)1|,0d1d10xyyxyxyx(6)0|,02xyxyey解(1)xxddyy41解得22)(Cxy(2)xdxyydyln解得Cxey(3)dxdyxy1010解得Cxy1010即Cyx1010(4)dxxxdyyytansectansec22解得1|tan|ln|tan|lnCxy整理得Cyxtantan(5)dxxxdyyy)1()1(解得Cxxyy323231213121由于1|0xy，解得65C则65312131213232xxyy(6)dxedyexy2解得Ceexy221由于0|0xy则23C原方程解为xyee2322.求下列齐次方程的解(1)xyyyxln(2)yxyxxydd(3)022xyyyx(4)xxxyyyxd)(d222(5)dxdyxydxdyxy22(6)1|,0)2(12xyyyyxx解(1)令xyu，代入方程得uuxuxulndd分离变量得xxuuud)1(lnd两边积分得1||ln|1ln|lnCxu整理得|||1ln|2xCu将xyu回代，即得原方程通解Cxxy1ln(2)原式可化为xyxyxy11dd令xyu，代入方程得uuxuxu11dd分离变量得xxuuud1)d-(12两边积分得将xyu回代，即得原方程通解Cxxyxy222ln)1ln(arctan2整理得Cyxxy)ln(arctan222(3)原式可化为1dd2xyxyxy令xyu，代入方程得1dd2uxux分离变量得xxuud1d2两边积分得12||ln|1|lnCxuu即|||1|2xCuu12||ln)1ln(21arctanCxuu将xyu回代，即得原方程通解Cxxyxy12(4)原式可化为1dd2xyxyxy令xyu，代入方程得1dd2uuxuxu分离变量得xxuuud12d2两边积分得1||ln11Cxu即uCex11将xyu回代，即得原方程通解yxxCex(5)10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy令1,2uudxduxuuxy则0)1(duuxudx11Cxdxduuu1||lnCuxuxyuuCceyceexu,1(6)原式可化为xyxyxyxyxy212dd222令xyu，代入方程得uuxuxu21dd2分离变量得xxuuuud)d2(12两边积分得12||lnlnCxuu即xCuu2将xyu回代，即得原方程通解Cxxyy2将1|1xy代入得C=2于是，特解为xxyy22习题1.求下列微分方程的通解(1)xeyy(2)232xxyyx(3)2242)1(xxyyx(4)1212yxxy(5)0d)ln(dlnyyxxyy(6)yyyx2)2(2解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程0ddyxy的通解。分离变量得xyydd两端同时积分，得1||lnCxy得通解为xCey用常数变易法，把C换成C(x)，即xexCy)(两边微分，得xxexCexCxy)()(dd代入原方程，得1)(xC两端同时积分，得CxxC)(故所求微分方程通解为xeCxy其中C为任意常数。(2)xxxQxxP23)(,1)(则CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(CxxxxCxxxeCxexxexxxxx223311d)23(d23232||lnd1d1或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程0ddxyxy的通解。分离变量得xxyydd两端同时积分，得1||ln||lnCxy得通解为xCy用常数变易法，把C换成C(x)，即xxCy)(两边微分，得2)()(ddxxCxxCxy代入原方程，得23)(2xxxC两端同时积分，得CxxxxC22331)(23故所求微分方程通解为xCxxxy2233123其中C为任意常数。(3)14)(,12)(222xxxQxxxP则CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(CxxCxxeCxexxexxxxxxx322)1ln(d1222d123411d4d14222(4)1)(,21)(2xQxxxP则CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(xxxxxxxxxxxxxxxxxCexCeexCxeexCxexexCxeeCxee1211211212121ln1lnd21d2111dd1dd2222(5)原式可化为yyyxyx1...