二项分配的期望值与标准差VIP专享VIP免费

二項分配的期望值與標準差建國中學沈朋裕老師隨機變數是指一定義在樣本空間上的實函數，以抽籤為例，假設在籤筒裡有若干支籤，其中有獎籤的比例是p，今有人每次抽出一支籤，取出後須放回籤筒，連續抽取n次，則此人抽到有獎籤數目的所有可能是0、1、……、n，也就是說抽到有獎籤比例的所有可能是0、1/n、……、1，因此我們可以定義樣本空間={k｜k是指抽到k支有獎籤，其中0kn}，而定義隨機變數X1：R，X1(k)=k，及隨機變數X2：R，X2(k)=k/n（其中0kn），這兩個定義在樣本空間上的實函數，都稱為的隨機變數。我們可以由P({k})=Cknpk(1−p)n−k來定義樣本空間上所有子集合的機率函數，而且可以將P({k})簡寫成P(X1=k)或是P(X2=k/n)。現在我們用表格來敘述這兩個隨機變數：X101……nP0C1np1(1−p)n−1……CnnpnX201/n……1P0C1np1(1−p)n−1……Cnnpn現在定義隨機變數X的期望值E(X)=∑ipixi（其中xi是X所對應的值，而pi是事件「X=xi」發生的機率），我們現在對此值給予一個較方便的符號。另外定義隨機變數X的變異數Var(X)=∑ipi(xi−μ)2，因此Var(X)=∑ipi(xi−μ)2=∑ipi(xi2−2μxi+μ2)=∑ipixi2−2μ∑ipixi+∑ipiμ2=∑ipixi2−2μ2+μ2=E(X2)−μ2我們用抽籤的例子來計算其期望值與變異數：(1)先處理只抽一次籤的情況：此時樣本空間={0，1｜0表示沒抽中有獎籤，1表示抽中有獎籤}，設X：R，X(0)=0，X(1)=1，則E(X)=0×(1−p)+1×p=p，Var(X)=(0−p)2×(1−p)+(1−p)2×p=p(1−p)(2)再處理抽n次籤的情況：此時樣本空間={k｜k是指抽到k支有獎籤，其中0kn}，設X：R，X(k)=k/n（其中0kn），則E(X)=∑k=0nkn(Cknpk(1−p)n−k)=∑k=1nkn(n!k!(n−k)!pk(1−p)n−k)=∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k=p⋅∑k=1nCk−1n−1pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)=p⋅∑i=0n−1Cin−1pi(1−p)(n−1)−i=p⋅(p+(1−p))n−1=pVar(X)=[∑k=0n(kn)2(Cknpk(1−p)n−k)]−p2=1n2[∑k=1nk2⋅n!k!(n−k)!pk(1−p)n−k]−p2=1n[∑k=1nk⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k]−p2=1n[∑k=1n(k−1)⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k+∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k]−p2=1n[p2(n−1)⋅∑k=2n(n−2)!(k−2)!(n−k)!pk−2(1−p)(n−2)−(k−2)+p⋅∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)]−p2=1n[p2(n−1)⋅∑k=2nCk−2n−2pk−2(1−p)(n−2)−(k−2)+p⋅∑k=1nCk−1n−1pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)]−p2=1n[p2(n−1)⋅∑i=0n−2Cin−2pi(1−p)(n−2)−i+p⋅∑i=0n−1Cin−1pi(1−p)(n−1)−i]−p2=1n[p2(n−1)⋅(p+(1−p))n−2+p⋅(p+(1−p))n−1]−p2=1n[p2(n−1)+p]−p2=1n[np2−p2+p]−p2=p(1−p)n