..1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．，AB=4．【分析】〔1〕设AC∩BD=O，那么O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；〔2〕取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O， ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， PD∥平面MAC，PD平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，..word.... PA=PD，∴PG⊥AD， 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，，设平面PBD的一个法向量为那么由，得，取z=．，，得．．．取平面PAD的一个法向量为∴cos＜＞==∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．＞∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜|=||=||=．..word....【点评】此题考察线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．〔Ⅰ〕求证：MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；〔Ⅲ〕点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为的长．，求线段AH【分析】〔Ⅰ〕取AB中点F，连接MF、NF，由可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法..word....向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；〔Ⅲ〕设AH=t，那么H〔0，0，t〕，求出BE所成角的余弦值为的坐标，结合直线NH与直线列式求得线段AH的长．【解答】〔Ⅰ〕证明：取AB中点F，连接MF、NF， M为AD中点，∴MF∥BD， BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE． N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，那么NF∥DE． DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕解： PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． PA=AC=4，AB=2，∴A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，4，0〕，M〔0，0，1〕，N〔1，2，0〕，E〔0，2，2〕，那么，，，．．设平面MEN的一个法向量为由，得，取z=2，得由图可得平面CME的一个法向量为..word....∴cos＜＞=．，那么正弦值为；，，|=．．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为〔Ⅲ〕解：设AH=t，那么H〔0，0，t〕， 直线NH与直线BE所成角的余弦值为∴|cos＜＞|=||=|解得：t=或t=．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为为或．，此时线段AH的长【点评】此题考察直线与平面平行的判定，考察了利用空间向量求解空间角，考察计算能力，是中档题．3．如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD〔及其内部〕以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是〔Ⅰ〕设P是的中点．上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；〔Ⅱ〕当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．..word....【分析】〔Ⅰ〕由利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°...
