小学六年级小升初培优奥数-体积问题VIP免费

体积问题知识要点本节主要讲述考查长方体、正方体、圆柱的体积、容积的计算及实际应用，圆柱和圆锥的体积公式的推导。求不规则物体的体积是必考的内容之一，也是考试中的一个难点。一、体积概念物体所占空间的大小叫作物体的体积。体积用字母V来表示。二、相关的体积公式⑴长方体的体积=长×宽×高⑵正方体的体积=棱长×棱长×棱长⑶圆柱的体积=底面积×高1⑷圆锥的体积=×底面积×高3注意：长方体、正方体和圆柱的体积都可以用底面积×高来表示。用字母1表示即为：VSh（S表示底面积、h表示高）。3三、容积概念容器所能容纳物体的体积叫作它们的容积。容积的计算方法与体积的计算方法相同。但要从容器里面量长度。精选例题【例1】：一个圆锥形的沙堆，底面积周长是31.4m，高是2.4m。用这堆沙铺在一条宽12.5m、厚10cm的路面上，可以铺多远？（3.14）思路点拨：图1要求可以铺多远，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，抓住体积不变。标准答案：10cm0.1m1(31.42)22.4(12.50.1)350.24(m)答：可以铺50.24米。活学巧用1.一圆锥形沙堆，测得它的底面积周长是12.56米，高0.6米，每立方米沙约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（3.14，且所得结果保留一位小数）2.把一块棱长为10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高约是多少厘米？【例2】：在一个长50厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体玻璃缸中，水深20厘米，如果放入一块不规则的石块后，测得玻璃缸中的水深25厘米，这块石块的体积是多少？思路点拨：玻璃缸中的水面上升的原因，就是将石块放入其中导致的，所以上升的体积就应该是石块的体积。标准答案：5040(2520)10000(cm)3答：这块石块的体积是10000立方厘米。活学巧用1.一个长50厘米宽40厘米高30厘米的长方体水箱，水深20厘米如果放入一块棱长10厘米的正方体的石块那么水箱里的水面将上升多少厘米？2、一个长方形的铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？【例3】：如图，ABCD是一个直角梯形，试求沿着CD旋转一周得到的立体图形的体积。（3.14）CD5cmA8cm思路点拨：以CD为轴并将梯形绕这个轴旋转一和圆锥体积公式VSh即可求出这个立体图形的体积．133cmB周，得到一个底面半径为3厘米，高为8厘米的圆柱，再在上底面减去一个与圆柱等底，但高为（8-5）厘米的圆锥，这样一个立体图形；根据圆柱的体积公式VSh标准答案：V圆柱32872(cm3)V圆锥132（8-5）9(cm3)3所得图形的体积：72963197.82(cm3)答：沿着CD旋转一周得到的立体图形的体积是197.82立方厘米。活学巧用1.下面计算下面的图形绕虚线旋转一周后的立体图形的体积。（单位：cm）（1）（2）2、下面计求图中直角梯形绕轴旋转后形成图形的体积：3、将边长为3厘米，4厘米，5厘米的直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得的旋转体的体积为多少立方厘米？【例4】：下面图形的体积。思路点拨：（1）此题可以把这个立体图形分成两部分来计算体积：上部是一个底面直径为8厘米、高为20-15=5厘米的圆柱体积的一半；下部是一个底面直径为8厘米，高为15厘米的圆柱的体积；（2）此题是求这两个底面直径都是8厘米、高的和为21厘米的圆锥的体积之和，利用圆锥的体积公式即可解决问题标准答案：（1）3.14×(82)2×（20-15）÷2+3.14×(82)2×15，=3.14×16×5÷2+3.14×16×15，=125.6+753.6，=879.2（立方厘米）；（2）13×3.14×(82)2×21，=3.14×16×7，=351.68（立方厘米），答：这个立体图形的体积是879.2立方厘米，这个立体图形的体积是351.68立方厘米．活学巧用1.一个酸奶瓶（如图）容积是2.5升．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为20厘米，瓶子倒放时，空余部分高为5厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？2.一个圆柱形玻璃杯，体积为1000立方厘米，现在水的高度和水上高度的比为1：1，放入一个圆锥后（圆锥完全浸没在水中），水的高度和水上高度的比为3：2，圆锥的体积是多少立方厘米？