用高等几何的观点看待初等几何的问题VIP免费

从高等几何的视角看待初等几何的若干问题摘要：高等几何是初等几何的延伸课程，二者有着密切的关系.它为初等几何的内容提供了理论依据，开阔了初等几何的学习视野；高等几何可为初等几何构造新的命题，丰富了初等几何的内容；高等几何为初等几何的某些问题提供了解题方法，拓展了初等几何的解题途径.因此，很有必要研究高等几何在初等几何中的运用.关键词：高等几何；初等几何；命题；理论依据；思想方法1问题的提出一.问题的提出1.1高等几何与初等几何的关系《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程.而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.1.2高等几何的观点研究出等几何的意义法国教学家Klein曾经说过：“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻理解初等数学.”按照Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的性质和量的科学，即每一个变换群都对应着一个几何学，图形在此变换下保持不变的那些性质和量，就是相应的几何学所研究的对象.由射影变换群，仿射变换群，正交变换群所对应的几何学分别为：射影几何学，仿射几何学，欧氏几何学.又由于射影变换群仿射变换群正交变换群.故又有射影几何学仿射几何学欧氏几何学.但又由于群越大，它所保持不变的东西就越少，故从研究的内容上看有：射影几何学＜仿射几何学＜欧氏几何学.射影几何学的内容比较贫泛，而欧氏几何学的内容就十分丰厚了.了解了这种几何学之间的联系，也就扩大了学生关于几何的眼界，站得高也才能看得远，了解了欧氏几何在整个几何学中所处的地位，这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.掌握公理法，了解欧氏几何与非欧几何的关系，加深对初等几何教材的理解.几何学的思维其源于非欧几何.因为唯有从非欧几何的观点来看才得以阐明在中学研究的欧氏几何学的逻辑结构，只懂得一种欧几里德几何，就不能充分了解几何学的结构；几何学之所以能够提高到现代的观点，不过是在研究了非欧几何以后的事情.我们把罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统称为非欧几何.这三种几何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它们在射影几何中得到了统一，都是射影几何的子几何学.了解了它们之间的联系，对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.2高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用.2.1高等几何为初等几何内容提供理论依据中学几何考虑了学生的认识规律，内容不可能面面俱到，现行中学几何教材部分仅从直观的现象中发现图形之间的内在联系，探索几何性质，问题的结论依赖于默认，而在高等几何中，这些内容和问题都可以在严密的数学系统内给出严格的论述.例如立体几何中的直观图及截面图的画法；三点定一圆问题；一点在二次曲线的内部还是外部的问题；二次曲线的切线的尺...