全等三角形之截长补短法VIP专享VIP免费

word格式-可编辑-感谢下载支持例题1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°，∴∠B=∠E． AD平分∠BAC，∴∠1=∠2在△ABD和△AED中，∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE， AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△ACD和△AED中，AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90，CD=ED，又 AC=BC，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．word格式-可编辑-感谢下载支持∴DE=BE，∴CD=BE． AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．例题2图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC=BE在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC）点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；word格式-可编辑-感谢下载支持（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．解答：证明：（1） ∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，又 AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD．仿照（1）可证△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是20word格式-可编辑-感谢下载支持cm．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长．解答：解：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20cm．点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）如图所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-$\fra...