双曲线的标准方程及其几何性质VIP专享VIP免费

双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的概念：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2是核心，两核心间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示，常数用2a表示。(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示核心F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示核心F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹再也不是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.22yx2.双曲线的标准方程：-=1(a＞0,b＞0)表示核心在x轴上的双曲线；22aby2-x2=1(＞0,b＞0)表示核心在y轴上的双曲线.a22ab判定核心在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x、y的分母的大小，而是x、y的系数的符号，核心在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：标准方程图象2222x2y221（a0,b0）2aby2x221（a0,b0）2aba,b,c关系范围顶点对称性渐近线离心率焦点a2b2c2|x|a,yR|y|a,xR(a,0)(0,a)关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称bayxyabce(1)aF(c,0)F(0,c)等轴双曲线：x-y＝a(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来肯定。（1）通常消去方程组中变量y(或x)取得关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点．（2）若取得关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l被双曲线截得的弦长AB(1k)(x1x2)或(1222221其中k)(y1y2)2，2k是直线l的斜率，(x1,y1)，(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1x2)2(x1x2)24x1x2，x1x2，x1x2可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例一、中心在原点，核心在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个核心到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为()1A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝2D．x2－y2＝2x2y2解析：由题意，设双曲线方程为2－2＝1(a>0)，则c＝2a，渐近线y＝x，aa∴|2a|＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B2例2、按照以下条件，别离求出双曲线的标准方程．(1)过点P(3,2)，离心率e5．2(2)F1、F2是双曲线的左、右核心，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且F1PF260，SPF1F2123．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，别离讨论如下．5c25x2y2如双曲线的实轴在x轴上，设221为所求．由e，得2．①2a4ab由点P(3,2)在双曲线上，得922222abca1，1．②，又，由①、②得22abb21．③4c25x2y229若双曲线的实轴在y轴上，设221为所求．同理有2，221，a4ababa2b2c2．解之，得b217（不合，舍去）．222∴双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线方程为x4y1．x2y2c(2)设双曲线方程为221，因F1F22c，而e2，由双曲线的概念，得abaPF1PF22ac．由余弦，得(2c)2PF1PF22PF1PF2cosF1PF22(PF1PF2)2PF1PF2(1cos60)，22∴4c2c2PF1PF2．又SPF1F222221PF1PF2sin60123，∴PF1PF248．2x2y21．∴3c48，c16，得a4，b12．∴所求双曲线的方程为412三、巩固测试题1．到两定点F13,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（D）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线x2y22．方程（D）1表示双曲线，则k的取值范围是1k1kA．1k1B．k0C．k0D．k1或k1x2y23．双曲线2（C）1的焦距是m124m2A．4B．22C．8D．与m有关x2y2x2y24．若0ka，双曲线21与双曲线221有（D）akb2kabA．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的核心x2y21左核心F1的弦AB长为6，5．过双曲线则ABF2（F2为右核心）的周长是（A）169A．28B．22C．14x2y26．双曲线－＝1的核心到渐近线的距离为()412D．12A．23B．2C.3D．1x2y2...