20211226数列创新题型一、单选题（本大题共2小题，共10.0分）1.我国明代数学家音乐理论家朱载堉创立了十二平均律是利用数学使音律公式化第一人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，将八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表表示，其中𝑥1，𝑥2，𝑥3，…，𝑥13表示这些半音的频率，它们满足log2(𝑥𝑖为3√2，则该半音为()频率𝑥1半音𝐶𝑥2𝑥3𝑥4𝑥5𝑥6𝐹𝑥7𝑥8𝑥9𝑥10𝑥11𝑥12𝑥131𝑥𝑖)12=1(𝑖=12…12).若某一半音与的频率之比𝐷𝐸𝐺𝐴𝐵𝐶C.D.𝐴A.𝐹B.𝐺2.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当𝑝×𝑞(𝑝,𝑞∈𝑁∗)是正整数𝑛的最佳分解时，我们定义函数𝑓(𝑛)=|𝑝−𝑞|，例如𝑓(12)=|4−3|=𝑖1，则∑2021𝑖=1𝑓(2)=()A.21011−1B.21011C.21010−1D.21010二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）[1.3]=1，[−1.5]=3.定义函数𝑓(𝑥)=[𝑥[𝑥]]，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如：−2，[2]=2.当𝑥∈[0,𝑛)(𝑛∈𝑁∗)时，𝑓(𝑥)的值域为𝐴𝑛.记集合𝐴𝑛中元素的个数为𝑎𝑛，则∑2020𝑖=2𝑎−1的值为．𝑖1[2.3]=2.[−1.5]=−2.在数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=4.已知[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如：[lg𝑛]，𝑛∈𝑁，记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，则𝑆1000=________．5.对于数列{𝑎𝑛}，定义𝐴𝑛=𝑎12𝑎2⋯2𝑛−1𝑎𝑛𝑛为数列{𝑎𝑛}的“好数”，已知某数列{𝑎𝑛}的“好数”𝐴𝑛=2𝑛1，记数列{𝑎𝑛−𝑘𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛≤𝑆7对任意的𝑛∈𝑁∗恒成立，则实数𝑘的取值范围是_________．第1页，共7页三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）6.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=2，且𝑎𝑛1=(1)求证：数列{1𝑎𝑛}为等比数列；𝑛12𝑎𝑛1𝑎𝑛2，1𝑎(2)求[𝑆100]([𝑥]表示不超过𝑥的最大整数)．7.记等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑆5=20，𝑎2=3．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若数列{𝑏𝑛}的通项公式𝑏𝑛=2𝑛，将数列{𝑎𝑛}中与{𝑏𝑛}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{𝑐𝑛}，设数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇100．第2页，共7页答案和解析1.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的判定与性质、对数运算，属于中档题．4𝑖1212根据对数运算知{𝑥𝑖}是一个以𝑥1为首项,√2为公比的等比数列，由3√2=√2知𝑥4=3𝑥√2，从而求得结果．【解答】解： log2∴𝑥𝑖1𝑥𝑖12𝑥𝑖112𝑥𝑖=1𝑖=1,2,⋯,12，=√2=𝑞，∴{𝑥𝑖}是一个以𝑥1为首项，𝑞=12√2为公比的等比数列，312 √2=√2，4∴𝑥𝑖=√2=√2，4𝑥3124∴𝑥𝑖=𝑥4·√2=𝑥4·𝑞4=𝑥8，∴𝑖=8，对应的半音为𝐺．故选B．1242.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查函数的新定义，考查等比数列求和，属于中档题．由题意得𝑛为偶数时，求得𝑓2𝑛=0；𝑛为奇数时，求得𝑓2𝑛=2𝑛12−2𝑛−12=2𝑛−12，则𝑖可以把∑2021𝑖=1𝑓2前2021项和转化为等比数列求和，即可求解．【解答】解：由题意，当𝑛为偶数时，2𝑛=22·22，𝑛𝑛第3页，共7页所以𝑓(2𝑛)=22−22=0，当𝑛为奇数时，2𝑛=2所以𝑓(2𝑛)=2𝑛12𝑛12𝑛𝑛·2𝑛−12，，−2𝑛−12=2𝑛−12𝑖232020则∑2021)𝑓(22021)=𝑖=1𝑓(2)=𝑓(2)𝑓(2)𝑓(2)⋯𝑓(2(22⋯2故选A．0110101−21011)==21011−11−23.【答案】1010【解析】【分析】本题主要考查了分段函数值域、新定义运算、裂项相消法求和等知识，属于中档题．根据[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，先由题意先求[𝑥]，再求𝑥[𝑥]，然后再求[𝑥[𝑥]]在各区2020间上元素的个数，得到𝑎𝑛，进一步用裂项相消法求∑𝑖=2𝑎−1的和即可．𝑖20191【解答】0,𝑥∈[0,1)1,𝑥∈[1,2),解：由题意可得[𝑥]=…𝑛−1,𝑥∈[𝑛−1,𝑛)0,𝑥∈[0,1)𝑥,𝑥∈[1,2)∴𝑥⋅[𝑥]=,…(𝑛−1)𝑥,𝑥∈[𝑛−1,𝑛)∴[𝑥⋅[𝑥]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，𝑛−1，∴𝑎𝑛=112⋯(𝑛−1)=112𝑛2−𝑛22，11∴𝑛≥2时，𝑎𝑛−1=𝑛2−𝑛2−1=𝑛(𝑛−1)=2(𝑛−1−𝑛)，22020∴∑𝑖=21111=⋯𝑎𝑖−1𝑎2−1𝑎3−1𝑎2020−111111=2[(1−)(−)⋯(−)]22320192020=2(1−2020)=1010，故答案为：1010．201912019第4页，共...
