(六)函数、导数与不等式专练1．设函数f(x)＝＋2lnx
(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对所有的x≥1，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．2．已知函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)若对任意x1，x2∈[e2，∞＋)，有>，求实数k的取值范围．3．设函数f(x)＝lnx＋，m∈R
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．4．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx，g(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若对任意给定的x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．答案1．解：(1)f(x)的定义域为(0，∞＋)，f′(x)＝，所以当0，可得>k，令g＝f(x)，则g(x)＝x－xlnx，其中x∈(0，e－2]，g′(x)＝－lnx，又x∈(0，e－2]，则g′(x)＝－lnx≥2，即>2，因此实数k的取值范围是(∞－，2]．3．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)在(e，∞＋)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，∞＋)时，φ′(x)时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0
