(六)函数、导数与不等式专练1．设函数f(x)＝＋2lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对所有的x≥1，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．2．已知函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数a的值及f(x)的极值；(2)若对任意x1，x2∈[e2，∞＋)，有>，求实数k的取值范围．3．设函数f(x)＝lnx＋，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．4．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx，g(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若对任意给定的x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．答案1．解：(1)f(x)的定义域为(0，∞＋)，f′(x)＝，所以当0时，f′(x)>0，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)当x≥1时，f(x)≤ax⇔a≥＋，令h(x)＝＋(x≥1)，则h′(x)＝－＝，令m(x)＝x－xlnx－1(x≥1)，则m′(x)＝－lnx，当x≥1时，m′(x)≤0，所以m(x)在[1，∞＋)上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，因此h′(x)≤0，于是h(x)在[1，∞＋)上为减函数，所以当x＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a≥1，即a的取值范围是[1，∞＋)．2．解：(1)由题意得f′(x)＝，f′(1)＝0，解得a＝1.令f′(x)＝＝0，解得x＝1，即f(x)有极大值为f(1)＝1.(2)由>，可得>k，令g＝f(x)，则g(x)＝x－xlnx，其中x∈(0，e－2]，g′(x)＝－lnx，又x∈(0，e－2]，则g′(x)＝－lnx≥2，即>2，因此实数k的取值范围是(∞－，2]．3．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，∞＋)时，f′(x)>0，f(x)在(e，∞＋)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，∞＋)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，∞＋)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，①当m>时，函数g(x)无零点；②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当00，解得x>2.故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，∞＋)．(2)g′(x)＝(1－x)e1－x，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1，e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．因为g(0)＝0，g(1)＝1，g(e)＝e·e1－e>0，所以函数g(x)在(0，e]上的值域为(0，1]．当a＝2时，不合题意；当a≠2时，f′(x)＝2－a－＝＝，x∈(0，e]，故0<0，函数h(a)单调递增；当a∈(0，2－)时，h′(a)<0，函数h(a)单调递减．所以，对任意a∈，有h(a)≤h(0)＝0，即②对任意a∈恒成立．由③式解得a≤2－.④综合①④可知，当a∈时，对任意给定的x0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立．
