分层限时跟踪练(五十五)(限时40分钟)一、选择题1．(2015·韶关模拟)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为()A.B.C.D.【解析】由2x－1≥0得x≥，故所求概率P＝＝.【答案】A2．如图1032，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是()图1032A.B.C.D.【解析】由题意知，当MN＝R时，∠MON＝，所以所求概率为1－＝.【答案】D3．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.B.C.D.【解析】正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率为P＝＝.【答案】A4.(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A．1－B．1－C．1－D．1－【解析】函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－.【答案】B5．(2015·昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是()A.B.C.D.【解析】作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.∴P＝＝＝.【答案】D二、填空题6．(2015·烟台模拟)在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为________．≤【解析】当－x≤时，由0≤cosx≤≤，得－x≤≤－或x≤，由几何概型概率公式得P＝.【答案】7．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于的概率是________．【解析】设随机取出的两个数分别为x，y，则0＜x＜1,0＜y＜1，依题意有x＋y＜，由几何概型知，所求概率为P＝＝.【答案】8．如图1033所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM＜1的概率为________．图1033【解析】因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.记事件N“为在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM＜1”，则可得∠BAM＜∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.【答案】三、解答题9．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率．【解】如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，则×SABCD×h＜，又SABCD＝1，∴h＜，即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝＝.10．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．【解】设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－x|≤时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P＝＝.1．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.B.C.D.【解析】如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.【答案】C2．(2015·佛山二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为()A.B.C.D.【解析】由题意，得即表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为，故选C.【答案】C3．如图1034所示，图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．图1034【解析】设长方体的高为h...
