高考数学大二轮复习 大题专项练（三）立体几何 理-人教版高三数学试题VIP免费

大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP.(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;(2)若BD=❑√6,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.(1)证明因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD.因为点P是AC的中点,则PD⊥AC,PB⊥AC,因为PD∩PB=P,PD⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDP.(2)解方法一:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=❑√3AE,因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=❑√3AE.在Rt△ABD中,有12AE·BD=12AB·AD,得BD=❑√3AD,因为BD=❑√6,所以AD=❑√2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=2❑√33,ED=❑√63.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD.过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=❑√32AE=1,sin∠ADO=AOAD=❑√22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为❑√22.方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=❑√3AE,因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=❑√3AE.在Rt△ABD中,有12AE·BD=12AB·AD,得BD=❑√3AD,因为BD=❑√6,所以AD=❑√2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=2❑√33,ED=❑√63.以E为坐标原点,以向量⃗EC,⃗ED的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,则D0,❑√63,0,A-❑√33,0,1,向量⃗AD=❑√33,❑√63,-1,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),设直线AD与平面BCD所成的角为θ,则cos=m·⃗AD|m||⃗AD|=-1❑√2×1=-❑√22,sinθ=|cos|=❑√22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为❑√22.2.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,A1C=BC.(1)求证:A1B⊥平面AB1C;(2)若∠ABB1=60°,∠CBA=∠CBB1,AC⊥B1C,求二面角B-AC-A1的余弦值.(1)证明因为侧面ABB1A1为菱形,所以A1B⊥AB1,记A1B∩AB1=O,连接CO,因为A1C=BC,BO=A1O,所以A1B⊥CO,又AB1∩CO=O,所以A1B⊥平面AB1C.(2)解方法一:因为∠CBA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以△CBA≌△CBB1,所以AC=B1C.又O是AB1的中点,所以CO⊥AB1,又A1B⊥CO,A1B∩AB1=O,所以CO⊥平面ABB1A1.令BB1=2,因为AC⊥B1C,O为AB1的中点,所以CO=1.如图,以O为坐标原点,OB所在的直线为x轴,OB1所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.O(0,0,0),A(0,-1,0),B(❑√3,0,0),C(0,0,1),A1(-❑√3,0,0),⃗AB=(❑√3,1,0),⃗AC=(0,1,1),⃗AA1=(-❑√3,1,0),⃗A1C=(❑√3,0,1).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则{n1·⃗AB=0,n1·⃗AC=0,即{❑√3x+y=0,y+z=0,令x=1,则n1=(1,-❑√3,❑√3),同理可得平面A1AC的一个法向量为n2=(1,❑√3,-❑√3).cos=n1·n2|n1||n2|=-57,由图知二面角B-AC-A1为钝角,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-57.方法二:因为∠CBA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以△CBA≌△CBB1,所以AC=B1C.设AB=2,因为∠ABB1=60°,侧面ABB1A1为菱形,所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=❑√3.又AC⊥B1C,所以CO=1,AC=B1C=❑√2,又A1C=BC,O为A1B的中点,所以BC=A1C=2,所以△ABC为等腰三角形,△A1AC为等腰三角形.如图,取AC的中点M,连接BM,A1M,则∠BMA1为二面角B-AC-A1的平面角.在△BMA1中,可得BM=A1M=❑√142,A1B=2❑√3,所以cos∠BMA1=BM2+A1M2-A1B22BM·A1M=-57,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-57.3.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF,BF=CF.(1)求证:AB⊥CG;(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.(1)证明取BC的中点为D,连接DF,如图.由题意得,平面ABC∥平面EFG,平面ABC∩平面BCGF=BC,平面EFG∩平面BCGF=FG,从而BC∥FG. CB=2GF,∴CD􀱀GF,∴四边形CDFG为平行四边形,∴CG∥DF. BF=CF,D为BC的中点,∴DF⊥BC,∴CG...