规范解答集训(二)数列(建议用时：40分钟)1．已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＞0，数列的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn取得最小值？并求出最小值．[解](1)因为a1an＝S1＋Sn，①所以当n＝1时，a＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，a1an－1＝S1＋Sn－1，②由①－②得，a1(an－an－1)＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1(n≥2)，此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n.(2)因为an＞0，故an＝2n.设bn＝log2，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn取最小值，所以Tn的最小值为T4＝T5＝－10.2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设{bn－an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，①∴当n＝1时，a2＝2a1＋1＝3.当n≥2时，an＝2Sn－1＋1，②①－②得：an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，且a2＝3a1.故{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1.(2)由题意bn－an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以bn＝3n－1＋2n－1.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(30＋31＋…＋3n－1)＋(1＋3＋…＋2n－1)＝＋＝＋n2.3．已知数列{an}满足：an≠1，an＋1＝2－(n∈N*)，数列{bn}中，bn＝，且b1，b2，b4成等比数列．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)若Sn是数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和Tn.[解](1)bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．(2)由题意可得b＝b1b4，即(b1＋1)2＝b1(b1＋3)，所以b1＝1，∴Sn＝，∴＝＝2，Tn＝2×＝2×＝.4．(2019·濮阳5月模拟)已知数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＋bn＝2，等差数列{an}满足b1a2＝3，b1＋a5＝7.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)证明：a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＜3.[解](1)∵Sn＋bn＝2，∴当n＝1时，b1＝S1＝2－b1，∴b1＝1.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2－bn－2＋bn－1，整理得：bn＝bn－1.∴数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，∴bn＝.设等差数列{an}的公差为d，∵b1a2＝3，b1＋a5＝7，∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.(2)证明：设Tn＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＝2×＋3×＋…＋(n＋1)·，∴Tn＝2×＋3×＋…＋(n＋1)·，两式相减可得：Tn＝1＋＋＋…＋－(n＋1)·＝1－(n＋1)·＋＝－，Tn＝3－.即a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＝3－.∵＞0，∴a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1＜3.
