第3讲二项式定理一、选择题1.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A.－15x4B.15x4C.－20ix4D.20ix4解析(x＋i)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir(r＝0，1，2，…，6)，令r＝2，得含x4的项为Cx4i2＝－15x4，故选A.答案A2.(2017·漳州模拟)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A.－7B.7C.－28D.28解析依题意有＋1＝5，∴n＝8.二项式的展开式的通项公式Tk＋1＝(－1)kCx8－k，令8－k＝0得k＝6，故常数项为T7＝(－1)6C＝7.答案B3.(·湖北卷)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29B.210C.211D.212解析由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.答案A4.(2017·郑州质检)二项式的展开式的第二项的系为－，则x2dx的值为()A.B.C.3D.解析∵Tr＋1＝C(ax)6－r＝Ca6－r·x6－r，∴第二项的系数为Ca5·＝－，∴a＝－1，∴x2dx＝x2dx＝x3|＝－＝.答案B5.(2016·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.B.C.1D.2解析依题意，注意到的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·＝C·x10－2r，的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，选D.答案D6.已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.故选A.答案A7.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于()A.(3n－1)B.(3n－2)C.(3n－2)D.(3n－1)解析在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1).答案D8.(2017·九江模拟)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为()A.－210B.210C.30D.－30解析(x2－x＋1)10＝[(x2－x)＋1]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2－x)10－r，对于(x2－x)10－r的通项公式为Tr′＋1＝(－1)r′Cx20－2r－3r′.令20－2r－r′＝3，根据0≤r′≤10－r，r，r′∈N，解得或∴(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为CC(－1)＋CC(－1)＝－90－120＝－210.答案A二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答).解析(1－2x)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)k·xk，令k＝2得x2的系数为C(－2)2＝60.答案6010.(2016·山东卷)若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________(用数字作答).解析的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r·x10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.答案－211.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).解析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tk＋1＝C(1＋x)5－k·(－1)k，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案1012.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答).解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，得a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.答案36413.(2017·青岛模拟)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8解析由二项式定理知an＝C(n＝1，2，3，…，n).又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a6＝C，则k的最大值为6.答案B14.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A.45B.60C.120D.210解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.答案C15.(2017·合肥模拟)已知二项式的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数为________.解析由已知得＝64，所以n＝6.展开式的通项为Tr＋1＝3rCx3－r，令3－r＝1得r＝2，所以x的系数为9C＝135.答案13516.若(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为a，则(3x2－1)dx＝________.解析∵＝1－＋＋，∴(2＋x＋x2)·的展开式中的常数项为a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.故(3x2－1)dx＝(x3－x)|＝6.答案6
