第3讲函数的奇偶性与周期性分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列判断正确的是()．A．函数f(x)＝是奇函数B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数C．函数f(x)＝x＋是非奇非偶函数D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数解析选项A中的x≠2，而x＝－2有意义，定义域不关于原点对称，选项B中的x≠1，而x＝－1有意义，定义域不关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数．答案C2．(·豫东、豫北十所名校三测)已知函数f(x)＝则该函数是()．A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意x∈R，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增，选C.答案C3．已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0∞，＋)上(严格)单调，则满足f(x2－2x－1)＝f(x＋1)的所有x之和为()．A．1B．2C．3D．4解析依题意得，方程f(x2－2x－1)＝f(x＋1)等价于方程x2－2x－1＝x＋1或x2－2x－1＝－x－1，即x2－3x－2＝0或x2－x＝0，因此所有解之和为3＋1＝4，选D.答案D4．(·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝()．A．2B.C.D．a2解析依题意知：f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2，联立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得：g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，f(x)＝________.解析当x>0时，则－x<0，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，∴x>0时，f(x)＝x2－x.答案x2－x6．(·重庆)函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.答案4三、解答题(共25分)7．(12分)已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式．解设x＜0，则－x＞0，所以满足表达式f(x)＝x|x－2|.∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.8．(13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2∞，＋)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2∞，＋)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.分层B级创新能力提升1．(·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()．A．－2B．2C．－98D．98解析 f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又 f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案A2．(·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()．A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0，得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案C3．(·吉林实验中学模拟)给出两个函数性质：性质1：f(x＋2)是偶函数；性质2：f(x)在(∞－，2)上是减函数，在(2∞，＋)上是增函数．对于函数：①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x－2)，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是________．解析将f(x＋2)的图象沿x轴向右平移2个单位可得f(x)的图象，f(x＋2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直...
