导数及其应用第1讲导数及导数的计算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()．A．1B．2C．eD.解析由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝1.答案A2．(·合肥模拟)函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()．A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析y′＝2xcosx－x2sinx，当x＝1时，y′＝2cos1－sin1.答案B3．(·青岛一模)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()．A．－1B.C．－2D．2解析 y′＝＝，∴y′|x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1，故选A.答案A4．(·广州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()．A.B．－2C．2D．－解析设切点坐标为(t，t3－at＋a)．由题意知，f′(x)＝3x2－a，切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a，①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝.分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，由题意得它们互为相反数得a＝.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．解析由已知条件可得直线的斜率k＝，y′＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标为x＝2，切点坐标为(2，ln2)．由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－×2＝ln2－1.答案ln2－16．(·金华十校联考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内．已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．解析由y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.曲线C在点P处的切线的斜率为2，令y′＝3x2－10＝2，得x2＝4，因为点P在第二象限，∴x＝－2，又点P在曲线C上，∴y＝－8＋20＋3＝15，则点P的坐标为(－2,15)．答案(－2,15)三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，已知A(-1,2)为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x=a(a<-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求△ABD的面积S.解(1)由条件知点A(-1,2)为直线l1与抛物线C的切点， y′=4x，∴直线l1的斜率k=-4，所以直线l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0.(2)点A的坐标为(-1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，-4a-2)，∴△ABD的面积为S＝×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又 直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3) 切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或所以切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)．即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.分层B级创新能力提升1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)…，，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2013(x)等于()．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析f1(x)＝f0′(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝sinx…，，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2013(x)＝cosx.答案C2．(·豫东、豫北十所名校测试)在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1，得3≤x2<，显然满足该不等式的整数x...
