第5讲直线、平面垂直的判定及其性质分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()．A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案C2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．垂直解析因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案A3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是()．A．PA＝PB＝PCB．PA⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案B4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中“使x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()．A．③④B．①③C．②③D．①②解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直6．(·石家庄一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明(1)如图，连接AC，AN，BN， PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN＝PC. PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又 AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、MC， ∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD. 四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又 M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.8．(13分)(·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．解(1)法一因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.法二因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B，所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.(2)由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，取AB的中点H，连接CH，因为AC＝BC，所以CH⊥AB...
