第3讲圆的方程分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()．A．－1B．1C．3D．－3解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)． 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.答案B2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原点在圆外．答案B3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()．A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案D4．(·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()．A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析设P(x，y)，则由题意可得：2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．解析由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.答案(x－2)2＋(y－4)2＝26．(·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.答案三、解答题(共25分)7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解(1)法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝＝2，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.8．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40，②由①②解得或∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.分层B级创新能力提升1．(·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()．A．8B．－4C．6D．无法确定解析圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.答案C2．(·济南质检)圆心为C的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足OP·OQ＝0，则圆C的方程为()．A.2＋(y－3)2＝B.2＋(y＋3)2＝C.2＋(y－3)2＝D.2＋(y＋3)2＝解析法一 圆心为C，∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.由OP·OQ＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，解得r2＝，经检验满足判别式Δ>0.故圆C的方程为2＋(y－3)2＝.法二 圆心为C，∴设圆的方程为2＋(y－3)2＝r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2＋(y－3)2＝，故选C.答案C3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．...
