灵活用角，左右逢“圆“VIP免费

灵活用角，左右逢“圆”443000湖北省宜昌市夷陵中学徐勇新课标的实施对考试命题提出了新的要求：以问题为背景，以知识为载体，以方法为依托，以能力为主线，《考试大纲》指出：注重通性通法，淡化特殊技巧。一道数学题，最简捷的做法对学生来说未必是最好的方法，最适合学生的方法才是最好的方法。本文以圆为背景，力图发掘那些最真实、最原始的美。一、灵活利用圆的参数方程中角的几何意义，解决圆中的有关问题圆的参数方程是，如图（1），其中的几何意义是：圆心与圆上的点形成的射线和射线（与轴正方向同向）形成的角，当时，的几何意义是直线的倾斜角。灵活利用这一性质，可以化腐朽为神奇，解决一些看似很复杂的问题。例1．直线y=323x与圆心为D的圆33cos,13sinxy0,2交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A.76B.54C.43D.53分析：这是2010年高考重庆卷的一道选择题，命题中心提供的参考答案如下：如图(2)，数形结合，301，302由圆的性质可知213030,故43笔者以为，这种解法确实很简捷，令人拍案叫绝，但思路不够直接，与学生的的特有思维脱节，方法不易想到。通过画图可知，直线AD、BD的倾斜角一为锐角，一为钝角，恰好与上述圆的参数方程中的角的几何意义吻合，另外，本题圆的方程以参数方程形式给出，也是一种很好的提示。于是就有了如下更为直接的解法：设直线与圆的交点坐标为，代入直线锝：，二、灵活设角，解决有关圆的切线中的问题直线与圆相切是一种特殊的位置关系，以此为载体，可以考察数量积、面积等多个问题，依托相切所产生的直角三角形，灵活设角，可以以不变应万变，解决相应问题。例2．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB�的最小值为（2）0xyCPQ(1)A.42B.32C.422D.322分析：这是2010年高考全国卷的一道题。如图（3）所示，要求，涉及到，，这些量都与有关，设，，，，当且仅当即时有最小值322例3．如图(4)，过轴上一点向圆作切线，切点分别为，则面积的最小值是（）A．B．C．D．分析：这是一道高考模拟题，其通常的做法是：设，则，即，到的距离为，，又到距离为，，令，则在上递增，当时，最小，选A这种解法对尚且有用，但对、四边形就无能为力了，这些图形的面积有无最值？如果有的话，又是点在何处时取到呢？更一般的情况探究如下：（1）规范问题如图（5）所示，定圆的半径是，定直线和圆相离，圆心到的距离为，点是上动点，过引圆的两条切线，是切点，记，求四边形、、的面积关于的函数关系式及其最值。（2）问题解决PABO（3）0xy123CPAB（4）ABPC（5）分析：，，，为了探求四边形、、的最值，先求的范围：，结论一：对于，在上单调递增，当，即,也即在上的垂足为时，有最小值，无最大值；结论二：对于，在上单调递增，当，即,也即在上的垂足为时，有最小值，无最大值；结论三：对于，，令，则，，I当，即时，在上单调递增，在上单调递减，当，即时，有最大值（对应的点有两个），无最小值II当，即时，在上单调递减，当即,也即在上的垂足为时，有最大值，无最小值。